Histoire des mathématiques Concept

ensemble diophantien

Concept

solution d'une équation diophantienne

Son histoire

En 1900, à Paris, David Hilbert propose 23 problèmes au congrès international des mathématiciens. Le dixième porte sur les équations diophantiennes, dont on cherche les solutions en nombres entiers. Leur nom vient du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie. Hilbert demande un procédé valable pour toutes, qui indique en un nombre fini d'opérations si elles ont des solutions. Il ne réclame pas de les trouver.

À neuf ans, Julia Robinson contracte une scarlatine dont les complications la tiennent longtemps loin de l'école. Un test d'intelligence passé ensuite la classe un peu au-dessous de la moyenne. Au lycée, elle est la seule fille des cours avancés de mathématiques et de physique. Mariée à Raphael Robinson, elle reste plus tard au laboratoire de statistiques de Berkeley. Une règle interdit aux couples de travailler ensemble au département de mathématiques.

Dès sa thèse auprès d'Alonzo Church, Martin Davis pense que la méthode demandée par Hilbert n'existe pas. Julia Robinson commence à travailler sur ce problème en 1948. Les deux se rencontrent en 1950 et commencent à collaborer en 1959. Le philosophe et logicien Hilary Putnam les rejoint. La notion d'ensemble diophantien est forgée pour venir à bout de ce dixième problème.

Youri Matiiassevitch a remporté une médaille d'or aux olympiades internationales de mathématiques de 1964, à Moscou. En 1970, ce Russe de 22 ans accomplit le dernier pas. La conclusion est négative : le procédé général demandé par Hilbert n'existe pas. Le jeune homme présente sa solution au congrès international des mathématiciens de Nice.

Le résultat porte aujourd'hui le nom de théorème de Matiiassevitch. Robinson et Matiiassevitch travaillent ensuite ensemble à réduire le nombre d'inconnues nécessaires, c'est-à-dire de valeurs à trouver. Elle devient la première mathématicienne élue à l'Académie des sciences des États-Unis.

Sources : J.-P. Delahaye, Mathématiques et mystères (2016) ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; Tangente hors-série n° 25, Les grands mathématiciens modernes ; Wikipédia, articles « Diophantien », « Dixième problème de Hilbert », « Théorème de Matiiassevitch », « Youri Matiiassevitch », « Hilbert's tenth problem », « Diophantine set », « Julia Robinson », « Martin Davis ».

Énoncé

$$\bar{n} \in S \iff (\exists \bar{m} \in \mathbb{N}^{k})(P(\bar{n},\bar{m})=0)$$

Cas d’usage

  • Informatique théorique : tout ensemble qu'un programme sait énumérer est diophantien ; il en découle qu'aucun programme ne peut décider, pour toute équation à coefficients entiers, si elle a une solution, ce qui répond par la négative au dixième problème de Hilbert.
  • Logique : pour tout système d'axiomes de l'arithmétique, il existe une telle équation sans solution entière dont on ne peut pourtant pas démontrer, dans ce système, qu'elle n'en a pas.
  • Équation universelle : on peut construire un unique polynôme à plusieurs inconnues dont la résolubilité, selon la valeur d'un paramètre, reproduit celle de n'importe quelle autre équation de ce type.
  • Nombres premiers : leur ensemble est diophantien, si bien qu'il existe un polynôme explicite dont les valeurs positives, quand ses variables parcourent les entiers naturels, sont exactement les nombres premiers.
  • Un exemple à deux variables seulement : les nombres de Fibonacci sont exactement les valeurs positives d'un certain polynôme quand ses variables parcourent les entiers naturels.

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Sources