formule du multinôme de Newton

Théorème

formule de théorie des nombres

Énoncé

$$(x_1 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, \ldots, k_m} \prod_{t=1}^m x_t^{k_t}$$

L'exposant $n$ est un entier naturel, et la somme porte sur toutes les suites d'entiers naturels $k_1, \ldots, k_m$ de total $n$.
Comme pour le binôme, les termes doivent commuter deux à deux ; pour des objets qui ne commutent pas, $(u+v)^2 = u^2 + uv + vu + v^2$, et non $u^2 + 2uv + v^2$.

Probabilités : la loi multinomiale, qui décrit la répartition d'un échantillon entre plusieurs catégories, a bien des probabilités de somme 1, car cette somme est le développement d'une somme de probabilités élevée à une puissance.
Physique statistique : la formule compte les façons de répartir des particules discernables entre plusieurs niveaux d'énergie à énergie totale fixée, dénombrement qui fonde le calcul des probabilités des états.
Apprentissage automatique : la répartition des réponses d'un réseau de neurones entre plusieurs classes se modélise par une loi de ce type, d'où la fonction d'erreur dite entropie croisée, très utilisée pour l'entraîner.
Dénombrement : compter les anagrammes distincts d'un mot qui contient des lettres répétées.