géométrie de Galois

Construisons une parabole avec un nombre fini de points. La géométrie de Galois utilise des coordonnées dans un corps fini : des restes modulo un nombre premier, ou des extensions de ce calcul. Points, droites et plans sont alors en nombre fini.

Modulo \(5\), gardons les restes \(0,1,2,3,4\). La parabole \(y=x^2\) contient \((0;0)\), \((1;1)\), \((2;4)\), \((3;4)\), \((4;1)\), car \(3^2=9=4+5\) et \(4^2=16=1+15\). Trois points sont alignés si l'expression suivante vaut \(0\) modulo \(5\) :

Aucun des dix triplets ne convient. Dans le plan projectif, on ajoute un point à l'infini par direction. La parabole gagne celui de la direction verticale. Il ne peut être aligné avec deux de ses points, puisqu'ils ont des abscisses différentes. Ces six points, jamais trois alignés, forment un ovale : \(6=q+1\), avec \(q=5\).

Par \((1;1)\) passent \(q+1=6\) droites. Cinq rejoignent les autres points de l'ovale. La dernière est la tangente \(y=2x-1\), qui ne rencontre l'ovale qu'en ce point : \(2x-1=x^2\) revient à \((x-1)^2=0\). Tout point extérieur est aligné avec deux points de l'ovale : on ne peut plus ajouter de point en gardant cette propriété.

Comptons maintenant les droites de l'espace projectif \(PG(3,2)\). Ses points sont les quadruplets de \(0\) et de \(1\), sauf le quadruplet nul : \(2^4-1=15\) points. Une droite contient deux de ces quadruplets et leur somme, calculée modulo \(2\) : trois points.

Il y a \(15\times14\) paires ordonnées de points distincts. Chaque droite en contient \(3\times2=6\), donc \(15\times14/6=35\) droites. Chacun des points est sur \(7\) droites : \(35\times3=105=15\times7\) rencontres entre points et droites. Les \(15\) plans contiennent chacun \(7\) points et \(7\) droites ; deux plans ont une droite commune.

Répartissons enfin les \(15\) points en droites sans point commun. Il en faut \(15/3=5\). Une telle répartition s'appelle un étalement. Elle existe : le dénombrement complet donne \(56\) étalements de \(PG(3,2)\).