Histoire des mathématiques Théorème

inégalité de Boole

Théorème

Inégalité de théorie des probabilités

Son histoire

George Boole, fils d'un cordonnier passionné de sciences, enseigne dès 16 ans pour faire vivre sa famille. Un érudit l'accuse de plagiat quand un journal publie sa traduction d'un poème latin, le jugeant incapable de ce travail. Sans diplôme universitaire, il devient professeur de mathématiques au Queen's College de Cork en 1849.

L'inégalité porte le nom de ce logicien anglais. La seconde partie de son livre Les Lois de la pensée, paru en 1854, porte sur les probabilités. Il y cherche à tirer, des chances connues de certains événements, celle d'un autre qui leur est lié par la logique.

Fin novembre 1864, il fait cours dans ses vêtements trempés après une marche sous la pluie. Atteint d'une pneumonie, il meurt le 8 décembre. Plus tard, Carlo Emilio Bonferroni élargit l'inégalité à une famille de règles. Cet ancien élève du conservatoire de Turin avait étudié le piano et la direction d'orchestre avant de se consacrer aux mathématiques.

Sources : Wikipédia, articles « Boole's inequality », « Inégalité de Boole », « George Boole », « Fréchet inequalities » et « Carlo Emilio Bonferroni ».

Énoncé

$$\mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty\mathbb P(A_i)$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • Aucune hypothèse sur les événements : ni indépendance, ni incompatibilité ; c'est ce qui rend la borne si commode.
  • Pour deux événements, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) : l'inégalité n'est que cette égalité privée du terme \(P(A \cap B)\), et devient une égalité quand ce terme est nul.
  • Pour une suite infinie d'événements, la borne n'apporte quelque chose que si la somme des probabilités est finie.

Cas d’usage

  • Majorer le risque qu'au moins un événement rare se produise : la probabilité de la réunion est au plus la somme des probabilités, borne utilisable sans rien savoir des liens entre les événements.
  • Lemme de Borel-Cantelli : quand la somme des probabilités d'une suite d'événements est finie, l'inégalité permet de montrer que presque sûrement seul un nombre fini d'entre eux se produit.
  • Séries de variables aléatoires : pour contrôler l'écart entre deux restes d'une série, on majore sa probabilité par la somme de deux probabilités plus simples.

Liens

porte le nom de

Sources