méthode de Simpson

Concept

méthode de calcul numérique d'une intégrale

Énoncé

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \tfrac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\tfrac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$$

La majoration de l'erreur, $(b-a)^5/2880$ fois le maximum de $|f^{(4)}|$, suppose $f$ quatre fois dérivable à dérivées continues ; sur $n$ sous-intervalles, l'erreur décroît alors comme $1/n^4$.
La méthode remplace la courbe par une parabole passant par les points d'abscisses $a$, $(a+b)/2$ et $b$ : elle est donc exacte, sans aucune erreur, pour tout polynôme de degré au plus 2.
La version composée, sur plusieurs sous-intervalles, demande de découper $[a,b]$ en un nombre pair de parts de même largeur.

Volume d'un solide : trois sections, à la base, au milieu et au sommet, suffisent à estimer le volume d'un tonneau, d'un tronc de cône ou d'un tronc de pyramide.
Calculer une intégrale sans primitive simple : la méthode remplace la courbe, par morceaux, par des paraboles passant par trois points ; appliquée à $1/x$ entre 1 et 2, elle donne $\ln 2$ à trois millionièmes près.
Choisir le découpage : l'erreur diminue comme la puissance quatrième de la largeur des sous-intervalles, ce qui permet de savoir d'avance quelle finesse suffit.
Valeurs trigonométriques : l'intégrale de $1/(1+x^2)$ entre 0 et 1/2 donne $\arctan(1/2)$, que la règle approche par 0,4637.