Histoire des mathématiques Concept
Problème de Bâle
Conceptproblème de mathématique
Son histoire
L'Italien Pietro Mengoli veut donner une valeur exacte à une addition sans fin, celle des inverses des carrés des nombres entiers. Les calculs en donnent une approximation, autour de 1,644 934, sans révéler ce que cache ce nombre. Leibniz s'y essaie en vain, puis Jacques Bernoulli échoue à son tour.
On prête à ce dernier un appel à l'aide, promettant sa reconnaissance à qui trouvera la réponse. Sa famille vit à Bâle, la ville qui donnera son nom au problème. C'est aussi là qu'est né Euler.
Additionner les fractions une à une n'améliore que lentement la précision. Stirling trouve des raccourcis en 1730, suivi par Euler en 1731. Euler applique à une expression infinie une règle qui n'était démontrée que pour les expressions finies. L'accord avec les valeurs approchées le convainc d'annoncer sa solution en 1735 : pi au carré sur six. Il a vingt-huit ans, et ce succès lui apporte une notoriété immédiate.
Conscient de la faiblesse de son argument, il propose une nouvelle démonstration en 1741. Une autre justification suit en 1743. Le passage par un calcul infini ne sera pleinement justifié qu'au siècle suivant, avec Weierstrass.
Une preuve différente figure dans le Cours d'analyse de Cauchy en 1821. Elle reparaît en 1982 dans la revue Eureka, sous le nom de John Scholes. Celui-ci la tenait de Peter Swinnerton-Dyer et la disait courante à Cambridge à la fin des années 1960.
Sources : J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; Le livre des nombres (2021) ; Tangente, L'infini, le fini, le discret et le continu (2006) ; J. Baudet, Histoire des mathématiques (2014) ; Wikipédia, articles « Problème de Bâle » et « Basel problem ».
Énoncé
Pour comprendre
Une somme qui reste finie
Additionner une infinité de nombres positifs ne donne pas toujours un résultat fini. La série harmonique \(1 + 1/2 + 1/3 + \dots\) en offre l'exemple le plus connu : ses termes tendent vers zéro, et pourtant sa somme dépasse n'importe quelle valeur donnée. La somme des inverses des carrés \(1 + 1/4 + 1/9 + \dots\) se comporte autrement, et il est possible de le démontrer simplement.
Notons \(S_N\) la somme des \(N\) premiers termes. Tous les termes étant positifs, la suite \(S_N\) est croissante. Reste à montrer qu'elle ne grandit pas indéfiniment. Pour \(n \ge 2\), on a \(n^2 > n(n-1)\), donc
Additionnons ces inégalités de \(n = 2\) à \(n = N\). Dans le membre de droite, chaque terme s'annule avec le suivant, et il ne subsiste que le premier et le dernier :
On en déduit \(S_N < 1 + 1 - 1/N < 2\). Une suite croissante et majorée converge : la somme existe, et elle est inférieure à 2. Savoir qu'elle existe ne dit pourtant rien de sa valeur exacte.
Un siècle de recherche
La question de la valeur exacte de cette somme fut posée au milieu du XVIIe siècle par Pietro Mengoli. Jacques Bernoulli la reprit et y travailla sans succès.
Leonhard Euler, né à Bâle, la résout en 1735 : la somme vaut \(\pi^2/6\). Sa méthode est audacieuse. Un résultat connu pour les polynômes relie un polynôme à ses racines. Euler l'applique à la fonction \(\sin x / x\), qu'il traite comme un polynôme de degré infini dont il connaît les racines. Il obtient de la même façon les sommes des inverses des puissances paires : celle des puissances quatrièmes, par exemple, vaut \(\pi^4/90\). Les puissances impaires lui échappent. Roger Apéry a montré en 1978 que la somme des inverses des cubes n'est pas un nombre rationnel, et l'on n'en sait guère plus aujourd'hui.
Des carrés aux nombres premiers
Euler a aussi mis en évidence un lien inattendu entre cette somme et les nombres premiers. On peut le retrouver par un crible, semblable à celui qui élimine les multiples d'un entier dans une liste.
Notons \(S\) la somme. Les termes dont le dénominateur est pair valent \(1/(2n)^2 = 1/(4n^2)\), et leur total est \(S/4\). Si on les retire, il ne reste que les entiers impairs :
Parmi ces impairs, les multiples de 3 sont \(3 \times 1\), \(3 \times 3\), \(3 \times 5\), et ainsi de suite. Leur contribution vaut \(R_2/9\). En les retirant à leur tour, il reste les termes dont l'entier n'est divisible ni par 2 ni par 3 :
En poursuivant jusqu'à un nombre premier \(P\), on obtient
où le produit porte sur les nombres premiers \(p\) inférieurs ou égaux à \(P\).
Que reste-t-il dans \(R_P\) ? Le terme 1, et les termes \(1/n^2\) des entiers \(n\) dont tous les facteurs premiers dépassent \(P\), puisque tout entier supérieur à 1 possède au moins un facteur premier. Ces entiers sont tous supérieurs à \(P\). Le même télescopage que plus haut donne \(\sum_{n=P+1}^{M} 1/n^2 \le 1/P - 1/M < 1/P\), d'où l'encadrement
Par le théorème des gendarmes, \(R_P\) tend vers 1 quand \(P\) grandit. Posons \(A_P = \prod_{p \le P} \frac{1}{1 - 1/p^2}\). Comme \(A_P \cdot R_P = S\), le produit \(A_P\) tend vers \(S\) :
Les premiers produits donnent \(A_2 = 4/3\), puis \(A_3 = 4/3 \times 9/8 = 3/2\), puis \(A_5 = 3/2 \times 25/24 = 25/16 = 1{,}5625\), à comparer à \(\pi^2/6 \approx 1{,}6449\). La convergence est lente. La figure suivante montre les sommes partielles et les produits s'approchant de la même limite : les points bleus représentent les sommes partielles \(S_N\), les points orange les produits \(A_P\), et la ligne rouge la valeur \(\pi^2/6\).
Vers la fonction zêta
Rien ne limite ce raisonnement au carré. Pour tout réel \(s > 1\), la série \(\sum 1/n^s\) converge, d'après le critère des séries de Riemann, et la même identité subsiste :
Une somme portant sur tous les entiers s'écrit ainsi comme un produit portant sur les seuls nombres premiers. C'est la traduction analytique de la décomposition de tout entier en facteurs premiers. Bernhard Riemann a étudié cette fonction \(\zeta\) pour une variable complexe, et l'hypothèse qui porte son nom concerne les zéros de son prolongement.
Ces zéros ne sont pas ceux de la série elle-même. Là où série et produit convergent, c'est-à-dire pour \(s > 1\), \(\zeta\) ne s'annule jamais : un produit convergent de facteurs non nuls n'est pas nul.
Liens
- porte le nom de
Sources
- Wikidata CC0-1.0