Histoire des mathématiques Concept

racine carrée de deux

Concept

constante mathématique définie comme l'unique nombre réel positif dont le carré vaut 2

Son histoire

Sur la tablette babylonienne YBC 7289, un carré et ses diagonales sont tracés. Cet objet appartient à la collection de Yale. Les chiffres inscrits donnent 1,414212963 dans notre écriture, la plus ancienne approximation connue de la racine carrée de 2. Le résultat est juste à 0,0000006 près, sans que l'on sache par quelle méthode les scribes l'ont obtenu.

En Inde, les Sulba-Sutras expliquent comment construire les autels des sacrifices et donnent une règle de calcul pour la diagonale du carré. Le texte de Katyayana précise que le résultat n'est qu'approché.

Les Grecs découvrent qu'aucune fraction de deux entiers ne donne exactement ce nombre. La date et les circonstances restent incertaines. Dans le Ménon de Platon, Socrate guide un jeune esclave pour doubler un carré en s'appuyant sur sa diagonale. Chez Aristote apparaît la plus ancienne trace d'une démonstration.

Une légende veut qu'Hippase de Métaponte, disciple de Pythagore, ait été noyé pour avoir révélé cette découverte. D'autres versions parlent d'une exclusion ou d'un naufrage. Ces récits sont postérieurs de plus de quatre siècles aux événements supposés. Selon une tradition, les pythagoriciens lui auraient élevé un tombeau de son vivant pour le déclarer mort à leurs yeux.

Au IIe siècle de notre ère, Alexandre d'Aphrodise donne la plus ancienne démonstration complète que l'on puisse dater. En 1525, Christoff Rudolff fait imprimer le signe de la racine, encore dépourvu de sa barre horizontale, dans Die Coss. Vers 1550, on parle aussi de « nombre sourd », peut-être à cause d'une mauvaise traduction de l'arabe vers le latin. Aujourd'hui, la racine carrée de 2 détermine les proportions d'une feuille A4. Ce rapport est le seul qui se conserve quand on plie le papier en deux.

Sources : J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; J. Baudet, Histoire des mathématiques (2014) ; A. Deledicq et M. Launay, Dictionnaire amoureux des mathématiques (2021) ; H. Lehning, Toutes les mathématiques du monde (2017) ; Wikipédia, articles « Racine carrée de deux », « Hippase de Métaponte » et « Square root of 2 ».

Énoncé

$$\sqrt{2}$$

Pour comprendre

Démonstration originale : le pair et l’impair (Aristote, ancien Euclide X.117)

C’est la démonstration à laquelle Aristote fait déjà référence, comme exemple de raisonnement par l’absurde : si la diagonale d’un carré était commensurable à son côté, un même nombre serait à la fois pair et impair. Pour Heath, c’est sans doute la méthode même des pythagoriciens. Elle figurait autrefois dans les textes d’Euclide sous le numéro X.117, mais c’est un ajout postérieur, que ses éditeurs August et Heiberg ont relégué en appendice.

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Supposons que la diagonale AC du carré soit commensurable avec le côté AB, c’est-à-dire qu’un même segment les mesure tous deux un nombre entier de fois, ou encore que leur rapport soit celui de deux nombres entiers.

  • Soit α : β ce rapport, exprimé dans les plus petits nombres possibles.
  • Puisque AC² vaut 2 AB² par le théorème de Pythagore (Éléments I.47), on a α² = 2β².
  • α² est donc pair, donc α est pair, car le carré d’un nombre impair est lui-même impair.
  • Le rapport α : β étant réduit à ses plus petits termes, α et β ne peuvent être pairs tous les deux : β est donc impair.
  • Posons α = 2γ ; il vient 4γ² = 2β², soit β² = 2γ².
  • β² est donc pair, donc β est pair.
  • Mais β a aussi été trouvé impair : c’est impossible.

Cette contradiction interdit que AC et AB soient commensurables. En langage moderne, \(\sqrt{2}\) n’est pas un quotient de deux entiers.

Source : Aristote, Premiers Analytiques, I, 23 ; démonstration transmise comme Euclide, Éléments, X.117 (appendice), d’après T. L. Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, vol. III (1908).

Cas d’usage

  • Format de papier : de l'A0 à l'A10, le rapport de la longueur à la largeur vaut \(\sqrt{2}\), ce qui permet de passer d'un format au suivant en pliant la feuille en deux sans changer ses proportions.
  • Architecture : le relevé de certains édifices anciens montre des murs dans un rapport très proche de \(\sqrt{2}\), indice qu'un tracé régulateur a servi à dessiner le plan.
  • Calcul antique : une tablette babylonienne donne, en base soixante, une valeur de \(\sqrt{2}\) d'une précision remarquable, et l'utilise pour la diagonale d'un carré de côté 30.
  • Calculer une valeur approchée : remplacer à chaque étape un nombre \(x\) par la moyenne de \(x\) et de \(2/x\) donne une suite qui converge très vite vers \(\sqrt{2}\), méthode connue depuis l'Antiquité et encore utilisée en programmation.
  • Raisonnement par l'absurde : la preuve que \(\sqrt{2}\) n'est le quotient d'aucun couple d'entiers, fondée sur la parité, est l'exemple le plus connu de ce type de démonstration.

Liens

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Sources