Histoire des mathématiques Discipline
science actuarielle
Disciplineévaluation des risques d'assurance et de prévoyance par les probabilités, primes et réserves
Pour comprendre
La science actuarielle chiffre les risques liés à l’assurance et à la prévoyance. Elle combine l’étude des probabilités de sinistre, les tables de mortalité et les calculs financiers nécessaires pour fixer des primes et constituer des réserves. Son objet est de transformer une incertitude future en évaluation chiffrée.
Ce qu'elle étudie
Un risque ne se réduit pas à la possibilité qu’un événement survienne : il faut aussi estimer sa fréquence, ses conséquences et la manière dont elles se répartissent dans le temps. Les probabilités de sinistre décrivent cette incertitude, tandis que les tables de mortalité organisent les informations utiles aux risques liés à la durée de vie. À partir de ces éléments, la discipline calcule les primes destinées à couvrir les engagements et les réserves conservées pour faire face aux prestations futures.
À quoi elle sert
Elle sert à :
- évaluer et tarifer les risques en assurance ;
- calculer les engagements et les réserves liés aux retraites ;
- mesurer les risques financiers associés à des événements incertains.
Où elle se place
Elle appartient aux mathématiques appliquées et mobilise le calcul des probabilités au service de la gestion du risque. Elle relie assurance, prévoyance, retraites et finance du risque.
Cas d’usage
Calculons une cotisation d'assurance. Supposons 1 000 maisons, chacune ayant une chance sur 500, soit 0,2 %, de brûler dans l'année, pour un dégât moyen de 100 000 euros. Le coût moyen par contrat vaut :
Ce coût moyen est la prime pure. On attend 2 incendies, soit 200 000 euros de dépenses. Supposons que les frais et la marge ajoutent 30 % : la prime commerciale, payée par l'assuré, atteint 260 euros.
Mesurons les variations du nombre d'incendies. Supposons les risques indépendants : un incendie ne change pas la probabilité des autres. L'écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne. Pour \(n\) contrats et une probabilité \(p\), il vaut \(\sqrt{np(1-p)}\) :
Cela représente environ 141 000 euros, soit 141 euros par contrat. Au moins 5 incendies ont une probabilité de 5,2 % : au moins 500 000 euros, deux fois et demie les primes pures. Pour au moins 4, la probabilité vaut 14,3 %. Il faut une réserve, de l'argent gardé pour les dépenses élevées.
Avec 100 000 contrats, on attend 200 incendies. L'écart-type atteint 14,13 incendies, mais seulement 14,1 euros par contrat. Multiplier les contrats par 100 divise l'incertitude par contrat par 10. Dépasser 250 incendies, soit 25 % de plus que prévu, a une probabilité de 0,028 %.
Calculons une prime d'assurance décès. Supposons un risque de décès de 1 % dans l'année, un versement de 100 000 euros en fin d'année et un placement rapportant 3 %. Le versement attendu vaut \(100\,000\times0{,}01=1\,000\) euros. Il suffit d'encaisser aujourd'hui \(1\,000/1{,}03\approx970{,}87\) euros : les intérêts complètent cette somme.
Pour 1 000 euros versés dans deux ans si la personne vit encore, supposons une survie de \(0{,}99\) la première année, puis \(0{,}98\) parmi les survivants. La probabilité de paiement vaut \(0{,}99\times0{,}98=0{,}9702\). Actualiser, ramener à aujourd'hui, multiplie par \(1/1{,}03^2=1/1{,}0609\). La prime est :
Soit 914,51 euros, contre 942,60 pour un versement certain et 970,20 sans intérêts.
Sources
- Wikidata CC0-1.0
- Rédaction Synapx INTERNE