théorème central limite

Énoncé

La somme, ou la moyenne, d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes de même loi suit approximativement une loi normale lorsqu’elle est convenablement normalisée. Cette approximation ne dépend pas de la forme précise de la loi de départ.

La normalisation consiste à recentrer la somme autour de sa valeur moyenne et à la rapporter à une échelle adaptée à sa dispersion. La distribution obtenue prend alors une forme proche d’une courbe en cloche lorsque le nombre de variables augmente.

Conséquence

Le théorème explique pourquoi la loi normale apparaît dans de nombreuses situations où l’on additionne de petits effets indépendants. La loi initiale peut être uniforme, discrète ou de forme différente : l’addition d’un grand nombre de tirages atténue progressivement ses particularités.

Pour un faible nombre de tirages uniformes, la densité de la moyenne conserve une forme simple, plate ou triangulaire. Quand le nombre de tirages croît, elle devient plus concentrée autour de sa moyenne et se rapproche de la cloche. Cette convergence est approximative et dépend de la normalisation.

Repères historiques

• premier cas (binomial) par Abraham de Moivre en 1733
• généralisé par Laplace en 1810
• forme moderne par Lyapunov en 1901

La figure montre les densités de la moyenne de tirages uniformes pour \(n=1\), \(n=2\) et \(n=6\).