Histoire des mathématiques Théorème

théorème de Viviani

Théorème

théorème de géométrie euclidienne portant sur le triangle équilatéral

Pour comprendre

rédaction

Énoncé

Dans un triangle équilatéral, soit \(P\) un point intérieur. On appelle \(d_1\), \(d_2\) et \(d_3\) les distances perpendiculaires de \(P\) aux trois côtés. Leur somme ne dépend pas de la position de \(P\) : elle est égale à la hauteur \(h\) du triangle.

\(d_1+d_2+d_3=h\)

La distance d’un point à une droite est ici la longueur du segment perpendiculaire mené depuis ce point jusqu’à cette droite.

Justification par les aires

Le point \(P\) découpe le triangle équilatéral en trois triangles. Chacun possède pour base un côté du grand triangle et pour hauteur l’une des distances \(d_1\), \(d_2\) ou \(d_3\).

Les trois bases ayant la même longueur, la somme des aires des trois petits triangles vaut cette longueur multipliée par \((d_1+d_2+d_3)/2\). Or cette somme est l’aire du grand triangle, égale à la même longueur multipliée par \(h/2\). Les deux expressions étant égales, on obtient la relation annoncée.

Repères historiques

  • énoncé par Vincenzo Viviani vers 1659

La figure montre un triangle équilatéral, le point intérieur \(P\) et ses trois distances aux côtés.

{ "boundingBox": [ -0.8, 6, 6.8, -0.8 ], "axis": false, "polygons": [ { "vertices": [ [ 0, 0 ], [ 6, 0 ], [ 3, 5.196 ] ], "fillColor": "#93c5fd", "color": "#1e3a8a" } ], "segments": [ { "from": [ 3.4, 1.6 ], "to": [ 3.4, 0.0 ], "color": "#dc2626", "width": 2, "label": "d1" }, { "from": [ 3.4, 1.6 ], "to": [ 4.657, 2.326 ], "color": "#dc2626", "width": 2, "label": "d2" }, { "from": [ 3.4, 1.6 ], "to": [ 1.543, 2.672 ], "color": "#dc2626", "width": 2, "label": "d3" } ], "points": [ { "x": 3.4, "y": 1.6, "name": "P", "color": "#dc2626", "size": 3, "fixed": true } ], "labels": [ { "x": 0.3, "y": 5.4, "text": "d1 + d2 + d3 = h", "color": "#1e3a8a" } ] }

Dates

decouverte
énoncé par Vincenzo Viviani approximative

Sources