théorème des zéros de Hilbert

Conditions d'application

• Le corps doit être algébriquement clos, comme les nombres complexes, où tout polynôme non constant a une racine ; la formule ne le rappelle pas. Sur les réels, l'idéal engendré par \(X^2+1\) n'a aucun zéro, si bien que \(I(V(J))\) est l'anneau entier, bien différent de \(\sqrt J = J\).
• L'égalité porte sur le radical \(\sqrt J\) et non sur \(J\) : un polynôme nul sur \(V(J)\) n'est pas forcément dans \(J\), mais l'une de ses puissances l'est.

Cas d'usage

• Relier géométrie et algèbre : deux systèmes d'équations polynomiales à coefficients complexes ont exactement les mêmes solutions si et seulement si les idéaux qu'ils engendrent ont le même radical ; cette équivalence fonde la correspondance entre variétés algébriques (ensembles définis par des équations polynomiales) et algèbres.
• Garantir qu'une fonction polynomiale qui s'annule en tout point d'une variété est nilpotente dans l'algèbre qui représente cette variété, c'est-à-dire qu'une de ses puissances y est nulle.
• Calcul formel : des versions quantitatives, dites Nullstellensatz effectif, bornent le degré des polynômes nécessaires pour écrire 1 comme combinaison d'équations sans solution commune, ce qui donne un moyen de prouver qu'un système n'a pas de solution.
• Algèbre constructive : pour montrer qu'un élément d'un anneau est nul ou nilpotent, on se ramène grâce au théorème à un calcul sur un corps.