Histoire des mathématiques Discipline

théorie combinatoire des groupes

Discipline

théorie des groupes libres et concept de présentation d'un groupe par générateurs et relations

domaine
théorie mathématique

Pour comprendre

La théorie combinatoire des groupes étudie les groupes à travers la façon dont ils peuvent être engendrés et définis par des relations entre leurs générateurs.

Ce qu'elle étudie

Elle s'intéresse en particulier aux groupes libres et à la notion de présentation d'un groupe, c'est-à-dire à la manière de décrire entièrement un groupe à partir d'un ensemble de générateurs et des relations qui les lient.

Où elle se place

Cette discipline s'inscrit dans le champ plus large de la théorie mathématique, aux côtés d'autres domaines comme le calcul stochastique ou la théorie des nœuds.

flowchart TD
  P0[théorie mathématique] --> D([théorie combinatoire des groupes])
  P0 --> S0[calcul stochastique]
  P0 --> S1[théorie des nœuds]

Cas d’usage

Réduisons un mot, une suite de lettres \(a,b\) et de leurs inverses \(a^{-1},b^{-1}\). Une lettre suivie de son inverse s'efface : \(aa^{-1}=e\), où \(e\) est l'élément neutre, qui ne fait rien. Dans le groupe libre, aucune autre règle n'est imposée :

$$abb^{-1}a^{-1}ab\to aa^{-1}ab\to ab$$

On efface \(bb^{-1}\), puis \(a^{-1}a\). Le mot \(ab\) est réduit : plus de voisins inverses. Il diffère de \(ba\), car aucune règle n'échange les lettres.

Pour compter les mots réduits, la première lettre offre quatre choix : \(a,a^{-1},b,b^{-1}\). Chaque suivante en offre trois, puisqu'on exclut l'inverse de la précédente. Les longueurs \(1,2,3\) donnent donc \(4\), \(4\times3=12\), \(36\) mots. À la longueur \(n\ge1\), il y en a \(4\times3^{n-1}\), soit \(108\) pour \(n=4\).

Réécrivons des mots à partir de deux générateurs \(r,s\), les lettres de départ, et de trois relations, les règles de calcul :

$$r^3=e,\quad s^2=e,\quad sr=r^2s$$

La dernière pousse les \(s\) vers la droite. Tout mot devient \(r^is^j\), avec \(i=0,1,2\) et \(j=0,1\). Cela laisse au plus six éléments. Par exemple :

$$srs\to r^2ss\to r^2$$
$$rsr\to r(sr)\to rr^2s\to r^3s\to s$$

Prenons pour \(r\) la rotation d'un tiers de tour d'un triangle équilatéral et pour \(s\) son retournement autour d'un axe de symétrie. Les six formes donnent ses six symétries distinctes. Il y a donc exactement six éléments. Le groupe n'est pas commutatif : \(sr\ne rs\), l'ordre compte.

Construisons un autre groupe à six éléments :

$$ab=ba,\quad a^2=e,\quad b^3=e$$

Cette fois, l'ordre ne compte plus. Les éléments sont \(a^ib^j\), avec \(i=0,1\) et \(j=0,1,2\). Les puissances de \(ab\) les parcourent tous :

$$(ab)^2=b^2,\quad (ab)^3=a$$
$$(ab)^4=b,\quad (ab)^5=ab^2$$
$$(ab)^6=e$$

Ce sont les entiers modulo \(6\) : on additionne et garde le reste de la division par \(6\). Avec \(a=3\), \(b=2\), on a \(3+3=6\equiv0\), \(2+2+2\equiv0\), et \(ab\) correspond à \(5\). Son ordre, le nombre de répétitions pour revenir à \(e\), est \(6\). Dans le groupe du triangle, le plus grand ordre est \(3\). Le même nombre d'éléments ne donne pas le même groupe.

Sources