Histoire des mathématiques Discipline

théorie de Galois différentielle

Discipline

Branche des mathématiques étudiant les équations différentielles via des méthodes algébriques

Pour comprendre

La théorie de Galois différentielle étudie les équations différentielles en leur appliquant des méthodes issues de l'algèbre.

Ce qu'elle étudie

Elle transpose aux équations différentielles une démarche comparable à celle employée pour les équations polynomiales, en cherchant à comprendre la structure de leurs solutions à travers des outils algébriques.

Où elle se place

Cette discipline se situe à la croisée des équations différentielles et de l'algèbre, dont elle combine les méthodes.

Cas d’usage

Cherchons les symétries des solutions de \(y'=2y\), une équation reliant une fonction à sa dérivée, son taux de variation. La théorie étudie les transformations qui respectent la dérivation et fixent les fractions rationnelles, quotients de polynômes ; leur groupe renseigne sur les fonctions nécessaires pour exprimer les solutions.

La fonction exponentielle \(y=e^{2x}\) convient car \((e^{2x})'=2e^{2x}\). Une symétrie \(\sigma\) donne :

$$\sigma(y)'=\sigma(y')=2\sigma(y)$$

Le quotient des deux solutions a une dérivée nulle :

$$\left(\frac{\sigma(y)}{y}\right)'$$
$${}=\frac{\sigma(y)'y-\sigma(y)y'}{y^2}$$
$${}=\frac{2\sigma(y)y-\sigma(y)2y}{y^2}=0$$

Il est donc constant : \(\sigma(y)=ce^{2x}\), avec \(c\ne0\). Inversement, \((ce^{2x})'=2ce^{2x}\). Composer ces symétries multiplie leurs constantes : le groupe est celui des constantes non nulles, avec la multiplication.

Cherchons les symétries de \(y'=1/x\). Le logarithme naturel, noté \(\log x\), est une solution puisque \((\log x)'=1/x\). La fraction \(1/x\) reste fixée, donc \(\sigma(y)'=1/x\). Soustrayons :

$$(\sigma(y)-y)'=1/x-1/x=0$$

Cette fois, \(\sigma(y)=\log x+c\). Composer les transformations additionne les constantes : le groupe est celui des constantes avec l'addition.

Examinons enfin \(y''=4y\), où l'on dérive deux fois. Les solutions \(y_1=e^{2x}\) et \(y_2=e^{-2x}\) vérifient :

$$(e^{2x})''=4e^{2x}$$
$$(e^{-2x})''=4e^{-2x}$$

Toute solution s'écrit \(ae^{2x}+be^{-2x}\). On pourrait envisager des matrices inversibles \(2\times2\), tableaux de quatre coefficients mélangeant ces solutions. Mais \(y_1'=2y_1\) et \(y_2'=-2y_2\) imposent \(\sigma(y_1)=cy_1\), \(\sigma(y_2)=dy_2\). De plus :

$$y_1y_2=e^{2x}e^{-2x}=1$$

La symétrie préserve ce produit : \(cd=1\), donc \(d=1/c\). Le groupe est réduit aux matrices \(\operatorname{diag}(c,1/c)\), qui multiplient séparément les deux solutions. Leur déterminant, ici le produit des coefficients diagonaux, vaut \(c\times(1/c)=1\). Il ne reste qu'un paramètre libre au lieu de quatre.

Liens

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Sources