théorie des équations différentielles

La théorie des équations différentielles est un domaine des mathématiques qui traite les équations différentielles et leurs solutions. Une telle équation relie une quantité inconnue à la manière dont elle varie. La discipline cherche donc les fonctions qui satisfont cette relation et étudie ce que ces solutions permettent de décrire.

Ce qu'elle étudie

Une équation différentielle met en jeu une inconnue et sa vitesse de variation. Résoudre l'équation consiste à trouver une fonction pour laquelle ce lien est respecté. La théorie s'intéresse autant à la forme de l'équation qu'aux solutions qui en résultent. Elle fournit ainsi un cadre pour étudier des quantités qui changent, en formulant leur variation au moyen d'une relation mathématique.

Cette écriture relie la quantité inconnue à sa propre vitesse de variation.

À quoi elle sert

Elle sert à étudier une évolution décrite par une relation entre une quantité et sa variation, notamment pour :

• formuler cette relation sous la forme d'une équation ;
• rechercher les fonctions qui la satisfont ;
• comparer des solutions d'une même équation ;
• traiter ces équations dans le cadre des mathématiques computationnelles.

Où elle se place

Elle appartient à l'analyse et fait partie des mathématiques computationnelles. Elle y occupe la place du domaine consacré aux équations différentielles et à leurs solutions.

flowchart TD
  P0[mathématiques computationnelles] --> D([théorie des équations différentielles])

Une famille de solutions

Cette figure trace la solution \(y = e^{kx}\) de l'équation \(y' = ky\), la plus simple des équations différentielles. Selon la valeur de \(k\), la même équation décrit une croissance, une décroissance ou un équilibre. Faites varier le curseur \(k\) pour parcourir toute la famille de solutions.