Histoire des mathématiques Discipline

Analyse

Discipline

branche des mathématiques traitant la notion de limite

domaine
Mathématiques · mathématiques pures

Pour comprendre

rédaction

L'analyse étudie ce qui varie de manière continue : un déplacement, une trajectoire, une population ou un signal. Elle cherche à décrire à la fois un changement local, comme une vitesse instantanée, et une accumulation, comme une aire.

Ce qu'elle étudie

Elle travaille sur les fonctions, qui associent une valeur à une autre, ainsi que sur les limites, les dérivées et les intégrales. La notation \(f'(x)\) désigne la dérivée d'une fonction f au point x : elle décrit sa vitesse instantanée de variation.

L'analyse permet ainsi de relier un phénomène observé à son évolution. Les équations différentielles décrivent des variations, tandis que les intégrales rassemblent des effets accumulés.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

La dérivée est la pente vers laquelle tend le taux de variation quand l'écart h devient infiniment petit.

À quoi elle sert

Elle sert à décrire et comparer des phénomènes dont l'état change.

  • Décrire des trajectoires, des populations, des épidémies et des marchés avec les équations différentielles.
  • Optimiser en recherchant le minimum d'un coût ou le maximum d'un rendement.
  • Traiter le signal et le son.
  • Exprimer les phénomènes de la physique.

Comment elle s'organise

Le calcul infinitésimal rassemble dérivées et intégrales. Les équations différentielles, l'analyse complexe, l'analyse fonctionnelle et le calcul des variations étendent cette étude à des situations plus variées.

mindmap
  root((Analyse))
    Calcul infinitésimal
      Dérivées
      Intégrales
    Équations différentielles
    Analyse complexe
    Analyse fonctionnelle
    Calcul des variations

Tangente variable

Cette figure montre la parabole \(y = x^2/4\) et sa tangente au point d'abscisse \(a\). La pente de cette droite varie selon la position du point : elle exprime l'idée de dérivée. Faites glisser le curseur \(a\) afin d'observer comment la tangente se modifie le long de la courbe.

{ "boundingBox": [ -4.2, 4.6, 4.2, -2.2 ], "axis": true, "sliders": [ { "name": "a", "min": -3, "max": 3, "value": 1 } ], "functions": [ { "expression": "x^2/4", "color": "#2563eb", "width": 2, "label": "y = x²/4" }, { "expression": "(a/2)*x-(a^2)/4", "color": "#dc2626", "width": 2, "dash": "dashed", "label": "tangente en a" } ] }

Liens

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Sources