analyse p-adique

Discipline

branche de la théorie des nombres traitant de l'analyse des fonctions de nombres p-adiques

domaine: Analyse · Théorie des nombres

Pour comprendre

L'analyse p-adique est une branche de la théorie des nombres qui étudie l'analyse des fonctions à partir des nombres p-adiques, une autre façon de mesurer la taille d'un nombre que celle utilisée habituellement.

Ce qu'elle étudie

Elle transpose les outils de l'analyse, suites, fonctions, limites, à ce cadre p-adique, où la notion de proximité entre nombres obéit à des règles différentes de celles de l'analyse ordinaire.

Où elle se place

L'analyse p-adique se rattache à la fois à l'analyse et à la théorie des nombres.

flowchart TD
  P0[Analyse] --> D([analyse p-adique])
  P1[Théorie des nombres] --> D([analyse p-adique])
  P0 --> S0[analyse algébrique]
  P0 --> S1[analyse complexe]
  P0 --> S2[analyse constructive]
  P0 --> S3[analyse convexe]

Cas d’usage

Mesurons des nombres avec la taille $2$-adique. Plus un nombre non nul contient de facteurs $2$, plus il est petit pour cette mesure. Si $v$ est l'exposant de $2$ dans $n$ :

$$|n|_2=1/2^v$$

Ainsi, $|8|_2=1/8$, $|12|_2=1/4$, car $12=4\cdot3$, et $|5|_2=1$. De même, $96=32\cdot3$, donc $|96|_2=1/32$. Pour une fraction, on divise les tailles du numérateur et du dénominateur : $|1/4|_2=4$, $|1/3|_2=1$.

La distance est la taille de la différence :

$$|17-1|_2=|16|_2=1/16$$

Ainsi, $1$ et $17$ sont proches. Entre $1$ et $2$, la distance vaut $|1|_2=1$ : ils sont plus éloignés.

Additionnons maintenant $1+2+4+8+16+\cdots$. Les sommes successives sont $1,3,7,15,31,\ldots$, soit $2^n-1$ après $n$ termes. Comparons-les à $-1$ :

$$(2^n-1)-(-1)=2^n$$

La taille de cet écart, $1/2^n$, tend vers $0$. Par exemple, $1+2+4+8+16=31$ ; $31-(-1)=32$, de taille $1/32$. Chez les nombres $2$-adiques :

$$1+2+4+8+\cdots=-1$$

La somme converge : elle s'approche de cette limite. Avec la distance ordinaire, elle diverge, sans limite finie.

Construisons une racine carrée de $2$ chez les nombres $7$-adiques. Le signe $\equiv$ modulo $7$ indique un même reste dans la division par $7$ :

$$3^2=9\equiv2\pmod7$$

Le carré de $3$ approche $2$ à $1/7$ près. Cherchons $x=3+7t$ tel que $x^2\equiv2\pmod{49}$ :

$$(3+7t)^2=9+42t+49t^2$$

$${}\equiv9+42t\pmod{49}$$

La condition $9+42t\equiv2\pmod{49}$ est satisfaite par $t=1$, donc $x=10$. Vérifions :

$$10^2=100=2+2\cdot49$$

À l'étape suivante, $x=10+49\cdot2=108$ :

$$108^2=11\,664=2+34\cdot343$$

Donc $108^2\equiv2\pmod{7^3}$. Les écarts diminuent : $|10^2-2|_7=1/49$, puis $|108^2-2|_7=1/343$. Les approximations $3,10,108,\ldots$ convergent vers une racine carrée de $2$. Aucune fraction d'entiers n'a pour carré $2$ : ce nombre existe chez les $7$-adiques sans être rationnel. Chez les nombres $5$-adiques, il n'en existe pas : les carrés modulo $5$ valent $0$, $1$ ou $4$, jamais $2$.

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q2845236