analyse non classique

Discipline

domaine: Analyse

Pour comprendre

L'analyse non classique ne dispose, dans les données disponibles, d'aucune description détaillée de son objet. On sait seulement qu'il s'agit d'une branche de l'analyse, distincte de l'analyse algébrique, de l'analyse complexe, de l'analyse constructive et de l'analyse convexe.

Où elle se place

L'analyse non classique est une branche de l'analyse.

flowchart TD
  P0[Analyse] --> D([analyse non classique])
  P0 --> S0[analyse algébrique]
  P0 --> S1[analyse complexe]
  P0 --> S2[analyse constructive]
  P0 --> S3[analyse convexe]

Cas d’usage

L'analyse infinitésimale lisse, une analyse non classique, ajoute aux nombres des infinitésimaux $\varepsilon$ dont le carré est nul : $\varepsilon^2=0$, sans pouvoir affirmer $\varepsilon=0$. Elle renonce au tiers exclu, le principe qui permettrait de trancher « $\varepsilon=0$ ou $\varepsilon\ne0$ ».

Calculons la pente de $x^3$ sans passage à la limite. Développons :

$$(x+\varepsilon)^3=x^3+3x^2\varepsilon$$

$${}+3x\varepsilon^2+\varepsilon^3$$

Puisque $\varepsilon^2=0$, on a aussi $\varepsilon^3=0$. Il reste exactement $(x+\varepsilon)^3=x^3+3x^2\varepsilon$. L'accroissement de la fonction est $3x^2\varepsilon$ : son coefficient $3x^2$ est la dérivée, qui donne la pente. En $x=2$, $(2+\varepsilon)^3=8+12\varepsilon$, donc la pente vaut $12$. De même, $(x+\varepsilon)^2=x^2+2x\varepsilon$.

Pour un produit, si les valeurs $f$ et $g$ deviennent $f+f'\varepsilon$ et $g+g'\varepsilon$, où les primes désignent les dérivées :

$$(f+f'\varepsilon)(g+g'\varepsilon)$$

$${}=fg+(f'g+fg')\varepsilon+f'g'\varepsilon^2$$

Le dernier terme s'annule. Le coefficient de $\varepsilon$ donne la dérivée du produit : $f'g+fg'$, sans aucune limite.

Cherchons ensuite l'inverse de $x+\varepsilon$, pour $x$ inversible, c'est-à-dire par lequel on peut diviser. Le produit $(x+\varepsilon)(x-\varepsilon)=x^2-\varepsilon^2=x^2$ donne :

$$\frac1{x+\varepsilon}=\frac{x-\varepsilon}{x^2}$$

$${}=\frac1x-\frac{\varepsilon}{x^2}$$

La dérivée de $1/x$ est donc $-1/x^2$. En $x=2$, $1/(2+\varepsilon)=1/2-\varepsilon/4$. Vérifions :

$$(2+\varepsilon)(1/2-\varepsilon/4)$$

$${}=1-\varepsilon/2+\varepsilon/2-\varepsilon^2/4=1$$

Dans ce cadre, toute fonction est continue, sans saut, et dérivable. On ne peut pas définir celle qui vaudrait $1$ en $0$ et $0$ ailleurs : cela demanderait précisément de trancher si l'infinitésimal est nul ou non.

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q17097784