Histoire des mathématiques Discipline

analyse à plusieurs variables

Discipline

calcul différentiel et intégral des fonctions de plusieurs variables indépendantes

domaine
Analyse

Pour comprendre

L'analyse à plusieurs variables concerne le calcul différentiel et intégral des fonctions de plusieurs variables indépendantes. Elle appartient à l'analyse.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline étudie le calcul différentiel et intégral appliqué à des fonctions de plusieurs variables indépendantes. Elle réunit donc ces deux formes de calcul autour de fonctions dont les variables sont indépendantes. Le dossier la rattache à l'analyse et indique qu'elle est utilisée dans le calcul infinitésimal. Il ne précise pas d'autres objets ni d'autres usages.

À quoi elle sert

Elle est utilisée dans le calcul infinitésimal.

Où elle se place

Elle appartient à l'analyse et est indiquée comme utilisée dans le calcul infinitésimal.

Cas d’usage

Faisons varier une seule entrée de \(f(x,y)=x^2y+3y\). Cette fonction associe une valeur à chaque couple \((x,y)\). Au point \((1,2)\), \(f(1,2)=2+6=8\). Une dérivée partielle mesure la pente quand une seule variable bouge :

  • En gardant \(y\) fixé, la dérivée en \(x\) vaut \(2xy\), donc \(4\) en \((1,2)\).
  • En gardant \(x\) fixé, la dérivée en \(y\) vaut \(x^2+3\), donc \(4\) en \((1,2)\).

Contrôlons avec un pas de \(0{,}1\) en \(x\) : \(f(1{,}1;2)=8{,}42\). Le gain vaut \(0{,}42\). En le divisant par le pas, la pente vaut \(0{,}42/0{,}1=4{,}2\), proche de \(4\). Avec le même pas en \(y\), \(f(1;2{,}1)=8{,}4\). Le gain de \(0{,}4\) donne une pente de \(0{,}4/0{,}1=4\). Le gradient est la flèche dont les coordonnées sont ces dérivées, ici \((4,4)\). Il indique la direction où la fonction monte le plus vite à ce point.

Mesurons le volume sous la surface \(z=xy\), au-dessus du rectangle \(0\le x\le1\), \(0\le y\le2\). La hauteur \(z\) dépend de la position \((x,y)\). Une intégrale cumule des tranches de plus en plus fines. Pour cette intégrale double, cumulons d'abord selon \(y\), avec \(x\) fixé :

$$\int_0^2xy\,dy=x\times\frac{2^2}{2}=2x$$

Puis cumulons selon \(x\) :

$$\int_0^1 2x\,dx=1$$

Le volume vaut \(1\). En intégrant d'abord selon \(x\), puis selon \(y\), on trouve aussi \(1\).

Cherchons le fond de la cuvette décrite par :

$$f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5$$

Les premières valeurs donnent \(f(0,0)=5\) et \(f(3,2)=4\). Les dérivées partielles sont \(2x-2\) et \(2y-4\). Elles s'annulent ensemble pour \(x=1\), \(y=2\). À ce point :

$$f(1,2)=1+4-2-8+5=0$$

Pour vérifier que c'est le point le plus bas, réécrivons la fonction :

$$f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2$$

Chaque carré est positif ou nul. La somme ne peut donc pas être négative ; elle ne s'annule qu'en \((1,2)\). C'est bien le fond de la cuvette.

Sources