Histoire des mathématiques Discipline

calcul des variations

Discipline

ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle

domaine
Analyse

Pour comprendre

Le calcul des variations est un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Il s’intéresse donc à des problèmes où l’objet à optimiser est une fonctionnelle, et où l’on recherche une courbe ou une autre donnée qui rende une quantité minimale ou maximale.

Ce qu'elle étudie

La discipline fournit des méthodes pour exprimer une condition d’optimalité. Dans la formule donnée, cette condition porte sur une courbe et indique ce qu’elle doit vérifier pour rendre une quantité minimale ou maximale. Le calcul des variations ne consiste donc pas seulement à comparer des valeurs : il étudie les conditions mathématiques liées à l’optimisation d’une fonctionnelle.

$$\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial L}{\partial y'} = 0$$

Cette formule donne la condition que doit vérifier une courbe pour rendre une quantité minimale ou maximale.

À quoi elle sert

Il sert à rechercher les conditions associées à la minimisation d’une fonctionnelle.

  • Formuler un problème de minimisation.
  • Énoncer une condition portant sur une courbe.
  • Étudier une quantité susceptible d’être minimale ou maximale.

Où elle se place

Le calcul des variations est une branche de l’analyse. Le diagramme le place aux côtés de l’analyse algébrique, de l’analyse complexe, de l’analyse constructive et de l’analyse convexe.

flowchart TD
  P0[Analyse] --> D([calcul des variations])
  P0 --> S0[analyse algébrique]
  P0 --> S1[analyse complexe]
  P0 --> S2[analyse constructive]
  P0 --> S3[analyse convexe]

Le brachistochrone

Cette figure illustre le problème posé par Jean Bernoulli en 1696 : entre deux points, quelle courbe offre la descente la plus rapide ? Ce n'est pas la ligne droite, en rouge, mais l'arc de cycloïde, en bleu. Ce problème fondateur a donné naissance au calcul des variations.

{ "boundingBox": [ -0.4, 0.5, 3.6, -2.4 ], "axis": true, "functions": [ { "x": "t-sin(t)", "y": "-(1-cos(t))", "range": [ 0, 3.1416 ], "color": "#2563eb", "width": 3, "label": "cycloïde (la plus rapide)" } ], "segments": [ { "from": [ 0, 0 ], "to": [ 3.1416, -2 ], "color": "#dc2626", "width": 2, "label": "droite" } ], "points": [ { "x": 0, "y": 0, "name": "départ", "color": "#1e3a8a", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 3.1416, "y": -2, "name": "arrivée", "color": "#1e3a8a", "size": 2, "fixed": true } ] }

Cas d’usage

Cherchons le plus court chemin entre deux points. Une courbe \(y(x)\) donne la hauteur \(y\) à chaque position \(x\). Sa dérivée \(y'\) mesure sa pente. Sa longueur s'obtient par une intégrale, qui additionne les longueurs de morceaux de plus en plus petits :

$$L=\int\sqrt{1+y'^2}\,dx$$

L'intégrande, l'expression sous le signe intégral, dépend seulement de \(y'\), pas de \(y\). L'équation de la fiche impose que \(y'/\sqrt{1+y'^2}\) reste constant. La pente \(y'\) est donc constante : le chemin est une droite.

Comparons les longueurs entre \((0,0)\) et \((1,1)\). La droite \(y=x\) mesure \(\sqrt2\approx1{,}414\). Pour la parabole, la courbe \(y=x^2\), on obtient :

$$\int_0^1\sqrt{1+4x^2}\,dx\approx1{,}479$$

Le quart de cercle de rayon \(1\), centré en \((1,0)\), mesure \(\pi/2\approx1{,}571\). Parmi ces chemins, la droite est bien la plus courte.

Cherchons la plus grande aire avec un périmètre de \(12\), c'est-à-dire un contour de longueur fixée. Pour des rectangles, les côtés \(1\times5\) donnent une aire de \(5\) ; \(2\times4\) donnent \(8\) ; le carré \(3\times3\) donne \(9\). Écartons les côtés du carré d'une même quantité \(e\), ajoutée d'un côté, retirée de l'autre :

$$(3+e)(3-e)=9-e^2$$

Le carré \(e^2\) ne peut pas être négatif. L'aire ne dépasse donc pas \(9\) : le carré est le meilleur rectangle.

Un triangle équilatéral, dont les côtés sont égaux, de côté \(4\) a une aire d'environ \(6{,}93\). Pour le cercle de périmètre \(12\), le rayon vaut \(6/\pi\approx1{,}91\) et l'aire \(36/\pi\approx11{,}46\).

Le cercle donne la plus grande aire parmi les contours fermés de ce périmètre. Ce problème est dit isopérimétrique : on garde la longueur du contour et on cherche sa forme. L'inconnue est une courbe entière.

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Sources