Histoire des mathématiques Discipline

théorie de la mesure

Discipline

branche des mathématiques étudiant les espaces mesurables, et dont fait partie la théorie de la probabilité

domaine
Analyse

Pour comprendre

La théorie de la mesure étudie les espaces mesurables, c'est-à-dire les ensembles pour lesquels on sait attribuer une taille, une longueur, une aire ou un volume à certaines de leurs parties.

Ce qu'elle étudie

Elle se consacre aux espaces mesurables et aux règles qui permettent d'y définir une mesure de façon cohérente. La théorie de la probabilité fait partie de ce domaine, la probabilité d'un événement pouvant elle-même être vue comme une mesure.

$$\mu\Bigl(\bigcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n)$$

Cette formule dit que la mesure d'une réunion de parties disjointes est la somme de leurs mesures : additionner des morceaux séparés revient à mesurer leur ensemble.

À quoi elle sert

  • fonder rigoureusement la théorie des probabilités
  • intervenir en métrologie, la science des mesures

Où elle se place

Elle appartient à l'analyse, la branche des mathématiques consacrée à l'étude des variations et des limites.

Cas d’usage

Mesurons la longueur occupée par les rationnels de \([0,1]\), les nombres qui s'écrivent comme une fraction d'entiers. Numérotons-les \(q_1,q_2,q_3,\ldots\). Choisissons \(\varepsilon\) positif, aussi petit que souhaité. Recouvrons \(q_1\) par un intervalle de longueur \(\varepsilon/2\), \(q_2\) par \(\varepsilon/4\), \(q_3\) par \(\varepsilon/8\), et continuons :

$$\varepsilon/2+\varepsilon/4+\varepsilon/8+\cdots=\varepsilon$$

Tous sont couverts. Leur mesure, c'est-à-dire leur longueur totale, ne dépasse donc aucun de ces \(\varepsilon\) : elle vaut \(0\). Les irrationnels, qui ne sont pas des fractions d'entiers, occupent le reste : leur mesure vaut \(1-0=1\). C'est le sens de « presque tous » ici.

Construisons l'ensemble de Cantor en retirant le tiers du milieu de \([0,1]\), sans enlever ses extrémités. Il reste \([0,1/3]\) et \([2/3,1]\), de longueur totale \(2/3\). Recommençons sur chaque segment : \(4\) segments de longueur totale \(4/9\), puis \(8\), de longueur \(8/27\approx0{,}2963\). Après \(10\) étapes, les \(1\,024\) segments ont pour longueur totale \((2/3)^{10}\approx0{,}0173\).

Les longueurs retirées sont \(1/3+2/9+4/27+\cdots\) : \(19/27\) après \(3\) étapes, et \(1\) à la limite. Le reste a donc pour mesure \(1-1=0\). Pourtant les extrémités \(0,1,1/3,2/3,1/9,2/9,7/9,8/9\) restent toujours. L'ensemble contient même autant de points que \([0,1]\) : une infinité non dénombrable, qu'on ne peut pas numéroter.

Calculons la probabilité d'une suite de piles fixée à l'avance. Pour les \(10\) premiers lancers d'une pièce équilibrée, elle vaut \((1/2)^{10}=1/1\,024\approx0{,}00098\). Pour les \(20\) premiers, elle vaut \(1/1\,048\,576\approx9{,}5\times10^{-7}\). En continuant sans fin, elle tend vers \(0\).

Toute suite infinie fixée a ainsi une probabilité nulle. Pourtant une suite se produit : le total vaut \(1\). Les suites ne se numérotent pas. La règle d'addition des mesures ne vaut que pour une réunion dénombrable de parties disjointes, que l'on peut numéroter et qui n'ont rien en commun.

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Sources