Histoire des mathématiques Concept

borne supérieure

Concept

s'il existe, le plus petit élément d'un ensemble partiellement ordonné qui est supérieur ou égal à tous les éléments ; le plus petit des majorants d'un ensemble dans lui-même

domaine
Analyse

Son histoire

Au XIIe siècle, une borne est d’abord une pierre qui marque la limite d’un terrain. Bien plus tard, les mathématiques empruntent « majorant » au vocabulaire de la comptabilité. La borne supérieure d’un ensemble de nombres est le plus petit des nombres qu’aucun d’eux ne dépasse.

En 1817, Bolzano publie un mémoire qui passe inaperçu. Le dessin ne lui suffit pas pour affirmer qu’une fonction continue passe par toutes les valeurs intermédiaires. Sa démonstration s’appuie sur l’idée de borne supérieure, tandis que Cauchy invoque encore l’évidence géométrique. Les travaux de ce dernier, de Dedekind et de Weierstrass en feront un théorème fondamental.

L’expression n’entre dans le vocabulaire qu’au XXe siècle. Vers 1960, Abraham Robinson travaille avec des quantités infiniment petites, que cette règle semblait exclure. Ces objets ne constituent pas chez lui une collection à laquelle le théorème puisse s’appliquer.

Sources : J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; A. Deledicq et M. Launay, Dictionnaire amoureux des mathématiques (2021) ; B. Hauchecorne, Les mots et les maths ; Wikipédia, articles « Propriété de la borne supérieure » et « Least-upper-bound property ».

Énoncé

$$s=\sup(X), U = \{u | u = Upper~bound(X)\}, X \subseteq (K, \preceq) \overset{\text{def}}{\iff} s \in U \land \forall y \in U (s \preceq y)$$

Dans le dictionnaire

Sources