Histoire des mathématiques Concept

valeur absolue

Concept

distance à 0, valeur numérique d'un nombre réel sans tenir compte de son signe

domaine
Analyse · fonction paire · module d'un nombre complexe

Son histoire

Longtemps, cette notion reste sans nom ni définition. Elle sert surtout à calculer des erreurs, en parlant de « nombre sans son signe » ou en demandant de « prendre positivement ».

« Absolu » vient du verbe absoudre et signifiait « débarrassé de ses péchés », puis « parfait ». Les nombres négatifs paraissaient encore imparfaits.

En 1806, Jean-Robert Argand propose le mot « module », au sens d'unité de mesure. Il représente alors des nombres par des points dans un plan. L'expression « valeur absolue » est attestée en français dès la même année. En 1821, Cauchy en étend l'usage.

Karl Weierstrass introduit les deux barres verticales en 1841. L'expression est attestée en anglais en 1857, tandis que le latin modulus y passe en 1866. En 1880, le même mathématicien tente sans succès d'appeler « valeur absolue » ce qu'Argand nommait « module ». L'informatique retient plus tard le nom abs, présent dès les premiers langages de programmation.

Sources : Les Mots et les Maths, dictionnaire historique et étymologique du vocabulaire mathématique (Ellipses) ; Wikipédia, articles « Valeur absolue » et « Absolute value ».

Énoncé

$$|x| = \begin{cases} x & x \geq 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}$$

Pour comprendre

En bref

La valeur absolue d’un nombre réel est d’abord sa distance à \(0\). Elle élimine l’orientation de l’axe, tenue pour arbitraire : c’est en cela qu’elle est « absolue ». Pour un réel \(x\), elle se note \(\lvert x \rvert\) ; c’est le plus grand des deux nombres \(x\) et \(-x\).

{ "boundingBox": [-7, 7, 7, -1], "axis": true, "grid": true, "sliders": [ { "name": "a", "min": -4, "max": 4, "value": 2 } ], "functions": [ { "x": "t", "y": "sqrt(t^2)", "range": [-7, 7], "label": "|x|", "color": "#9ca3af", "width": 2, "dash": "dashed" }, { "x": "t", "y": "sqrt((t-a)^2)", "range": [-7, 7], "label": "|x − a|", "color": "#2563eb", "width": 3 } ] }

En pointillé, la distance de \(x\) à \(0\). En bleu, la distance de \(x\) à un nombre \(a\), que le curseur déplace : la courbe touche l’axe en \(a\), là où la distance est nulle.

Repères

Le mot « absolu » est l’ancien participe passé du verbe absoudre. En 1880, Weierstrass propose, sans succès, d’appeler valeur absolue d’un nombre complexe ce que nous appelons aujourd’hui son module. Dès 1913, Kürschak définit de façon générale la notion de valeur absolue.

Cas d’usage

  • Distance : elle sert à mesurer la distance entre deux nombres réels.
  • Calcul : par l’inégalité triangulaire, la valeur absolue d’une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues.
  • Calcul numérique : dans la méthode du pivot partiel, on choisit comme pivot le terme de plus grande valeur absolue pour minimiser les erreurs d’arrondi.
  • Science des données : l’erreur absolue moyenne, qui mesure la performance des modèles de régression, est la moyenne des valeurs absolues des erreurs de prédiction.
  • Statistique : la somme des valeurs absolues des écarts à la médiane est inférieure à celle des écarts, pris de même en valeur absolue, à toute autre valeur.
  • Métrologie des surfaces : la rugosité \(Ra\) est la moyenne arithmétique de la valeur absolue des amplitudes des pics et des vallées par rapport à la ligne moyenne.
  • Intelligence artificielle : la distance de Manhattan, utilisée comme heuristique dans la résolution d’un jeu, prend pour chaque case la valeur absolue de ses écarts vertical et horizontal à la position qu’elle devrait occuper.

Dans le dictionnaire

Sources