Histoire des mathématiques Discipline

analyse variationnelle

Discipline

combinaison et extension de méthodes issues de l'optimisation convexe et du calcul des variations classique vers une théorie plus générale

domaine
Analyse

Pour comprendre

L’analyse variationnelle réunit et prolonge des méthodes venues de l’optimisation convexe et du calcul des variations classique. Elle les inscrit dans une théorie plus générale, afin d’étudier des questions où l’on cherche à comparer, optimiser ou faire varier des objets mathématiques.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline part de deux ensembles de méthodes. L’optimisation convexe fournit un cadre pour traiter certaines questions d’optimisation, tandis que le calcul des variations classique s’intéresse à des méthodes de variation. L’analyse variationnelle les combine et les étend : son objet est donc moins une technique isolée qu’un cadre général qui rassemble ces approches. Elle permet de formuler des problèmes dans lesquels une quantité, une condition ou un objet doit être étudié à travers ses variations.

À quoi elle sert

Elle sert à organiser et à généraliser des méthodes d’optimisation et de calcul des variations.

  • Mettre en relation des méthodes issues de l’optimisation convexe.
  • Étendre les méthodes du calcul des variations classique.
  • Donner un cadre plus général à l’étude de problèmes de variation.

Où elle se place

L’analyse variationnelle est une branche de l’analyse. Le diagramme la situe aux côtés de l’analyse algébrique, de l’analyse complexe, de l’analyse constructive et de l’analyse convexe.

flowchart TD
  P0[Analyse] --> D([analyse variationnelle])
  P0 --> S0[analyse algébrique]
  P0 --> S1[analyse complexe]
  P0 --> S2[analyse constructive]
  P0 --> S3[analyse convexe]

Cas d’usage

Cherchons le point d'une droite dont la somme des distances aux points \(1\), \(3\) et \(8\) est la plus petite. La valeur absolue mesure chaque distance :

$$g(x)=|x-1|+|x-3|+|x-8|$$

Calculons : \(g(1)=9\), \(g(2)=8\), \(g(3)=7\), \(g(4)=8\), \(g(8)=12\). Le minimum vaut \(7\), atteint en \(x=3\), la médiane, le point du milieu.

Pourtant, en \(3\), la courbe a un angle. À gauche, entre \(1\) et \(3\) :

$$g(2{,}5)-g(2)=-0{,}5$$

Pour un pas de \(0{,}5\), la pente vaut \(-1\). À droite :

$$g(3{,}5)-g(3)=+0{,}5$$

Sur le même pas, la pente vaut \(+1\). La dérivée, qui donnerait une pente unique, n'existe donc pas en \(3\).

Une droite d'appui touche la courbe et reste dessous. Le sous-différentiel est l'ensemble des pentes de ces droites. Ici, il contient toutes les pentes de \(-1\) à \(1\), soit \([-1,1]\). Comme \(0\in[-1,1]\), une droite horizontale reste sous la courbe : \(3\) réalise bien le minimum. L'analyse variationnelle remplace ainsi la dérivée absente par un ensemble de pentes.

Minimisons maintenant \(h(x)=(x-3)^2\) en imposant \(x\in[0,2]\). Cette contrainte limite les positions autorisées. Sans elle, le minimum serait en \(x=3\), où la dérivée \(2(x-3)\) s'annule. Mais \(3\) est hors de \([0,2]\).

Sur cet intervalle, la fonction descend : \(h(0)=9\), \(h(2)=1\). Elle atteint son minimum au bord, en \(x=2\). La dérivée y vaut pourtant :

$$2(2-3)=-2$$

Elle n'est pas nulle. Pour tenir compte du bord, l'inéquation variationnelle compare la pente aux déplacements autorisés depuis le point choisi \(x^*\) :

$$h'(x^*)\cdot(y-x^*)\ge0$$

Cette condition doit tenir pour tout \(y\in[0,2]\). En \(x^*=2\), elle devient :

$$-2\cdot(y-2)\ge0$$

C'est vrai pour tout \(y\le2\). La fonction ne pourrait descendre davantage qu'en sortant de l'intervalle autorisé.

Sources