Histoire des mathématiques Discipline

théorie des matrices

Discipline

une branche des mathématiques qui concerne l'étude des matrices

Pour comprendre

La théorie des matrices est une branche des mathématiques qui concerne l'étude des matrices, ces tableaux de nombres organisés en lignes et en colonnes.

Ce qu'elle étudie

Elle explore comment ces tableaux se combinent entre eux, quelles propriétés ils partagent et comment on peut les transformer, ce qui en fait un objet central pour représenter et manipuler des relations entre plusieurs quantités à la fois.

À quoi elle sert

Elle sert à représenter et à résoudre des problèmes portant sur plusieurs quantités liées entre elles.

  • résoudre des systèmes d'équations
  • représenter des transformations géométriques
  • organiser de grandes quantités de données numériques

Cas d’usage

Calculons le produit de deux matrices en changeant leur ordre. Prenons :

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Chaque case du produit se calcule avec une ligne de la première matrice et une colonne de la seconde. On multiplie les nombres correspondants, puis on additionne. En haut à gauche de \(AB\), on obtient \(1\times0+2\times1=2\). En procédant de même partout :

$$AB=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$$

Les colonnes de \(A\) sont échangées. Dans l'autre ordre, la case en haut à gauche vaut \(0\times1+1\times3=3\), et le produit devient :

$$BA=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Ce sont alors les lignes de \(A\) qui sont échangées. Ainsi, \(AB\ne BA\) : l'ordre de multiplication change le résultat.

Cherchons maintenant la matrice qui défait l'effet de \(A\). On calcule d'abord son déterminant :

$$\det A=1\times4-2\times3=-2$$

Ce nombre n'est pas nul : \(A\) possède une inverse. Pour la construire ici, on échange les nombres de la diagonale, on change le signe des deux autres, puis on divise par le déterminant :

$$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Vérifions en multipliant :

$$AA^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Par exemple, la première case vaut \(1\times(-2)+2\times\frac{3}{2}=1\). Le résultat est la matrice identité : elle laisse les coordonnées inchangées.

Liens

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Sources