théorie des systèmes dynamiques

Discipline

domaine des mathématiques utilisé pour décrire le comportement de systèmes dynamiques complexes, généralement en employant des équations différentielles ou des équations aux différences

Pour comprendre

La théorie des systèmes dynamiques étudie le comportement de systèmes qui évoluent. Elle vise en particulier les systèmes complexes, dont l’état change selon une règle mathématique.

Ce qu'elle étudie

Cette théorie décrit une évolution au moyen d’équations. Les équations différentielles expriment le changement continu d’un système. Les équations aux différences expriment, elles, une évolution d’une étape à l’autre. Ces deux écritures donnent une manière de suivre le comportement d’un même type d’objet au fil de son évolution.

À quoi elle sert

Elle sert à décrire le comportement de systèmes dynamiques complexes.

représenter une évolution par des équations différentielles
représenter une évolution par des équations aux différences
étudier le comportement décrit par ces équations

Cas d’usage

Suivons un réservoir percé au fond. Notons $h(t)$ la hauteur d'eau en centimètres après $t$ minutes, et $h'$ sa vitesse de variation. L'eau sort d'autant plus vite que la hauteur est grande, proportionnellement à sa racine carrée :

$$h'=-\sqrt{h}$$

C'est une équation différentielle : elle relie la hauteur à sa variation à chaque instant. Partons de $h(0)=100$. Tant qu'il reste de l'eau :

$$h(t)=(10-t/2)^2$$

Vérifions : $h(0)=10^2=100$, et la dérivée de $(10-t/2)^2$ vaut $-(10-t/2)$, c'est-à-dire $-\sqrt{h}$. On lit alors $h(10)=25$ : le quart de la hauteur à la moitié du temps. Puis $h(16)=4$, $h(18)=1$ et $h(20)=0$. La vidange ralentit, mais s'achève : le réservoir est vide au bout de $20$ minutes exactement.

Suivons une population qui double chaque année avant un prélèvement de six individus. Notons $x(n)$ son effectif après $n$ années :

$$x(n+1)=2x(n)-6$$

Cette équation aux différences donne l'étape suivante à partir de la précédente. Un équilibre est un effectif inchangé : $x=2x-6$, donc $x=6$. Partir de $6$ maintient $6$. Partir de $7$ donne $7,8,10,14,22,38$. Partir de $5$ donne $5,4,2$, puis $-2$ : le prélèvement dépasse le stock, épuisé à la troisième année. L'écart à $6$ double : $1,2,4,8,16$. L'équilibre est instable : un écart s'amplifie.

Calculons enfin la vidange minute par minute. Remplaçons la variation continue par des étapes : à chaque minute, on retire $\sqrt{h(n)}$ centimètres.

$$h(n+1)=h(n)-\sqrt{h(n)}$$

De $100$, on retire $\sqrt{100}=10$ : $90$. Puis $\sqrt{90}\approx9{,}49$ : $80{,}51$. Viennent $71{,}54$, $63{,}08$, et à la dixième minute $23{,}21$, au lieu de $25$ pour la solution exacte. À la dix-septième minute il reste $0{,}82$ centimètre, et le calcul passe sous zéro à la suivante : ce réservoir est vide avant $18$ minutes, le vrai à $20$. Chaque étape garde le débit du début de la minute, le plus fort. Avec $100$ étapes de $0{,}1$ minute, on trouve $24{,}83$ à la dixième minute. Raccourcir les étapes rapproche l'équation aux différences de l'équation différentielle : ainsi un ordinateur suit une évolution continue.

Liens

a compté parmi ses contributeurs: Maryam Mirzakhani
comprend: théorème d'Arnold-Liouville-Mineur

Sources

Wikidata CC0-1.0

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