Histoire des mathématiques Discipline

théorie ergodique

Discipline

étude du comportement moyen à long terme de systèmes dynamiques préservant une mesure

Pour comprendre

La théorie ergodique étudie le comportement moyen à long terme de systèmes dynamiques qui préservent une mesure. Elle demande quand la moyenne observée le long d'une trajectoire rejoint la moyenne calculée sur l'espace entier. Elle relie ainsi l'expérience d'une évolution individuelle à une information globale sur l'ensemble de l'espace.

Ce qu'elle étudie

Une trajectoire décrit la manière dont un système évolue. La mesure permet de considérer l'espace entier avec une pondération qui reste préservée par cette évolution. La théorie compare alors deux moyennes : celle obtenue en suivant longtemps une trajectoire, et celle obtenue en considérant l'espace dans son ensemble. La question est de savoir dans quelles situations elles coïncident.

Cette comparaison donne un sens précis à l'idée de comportement moyen. Elle ne suppose pas que chaque instant ressemble à tous les autres ; elle examine ce que révèle l'accumulation des observations au long d'une trajectoire. Lorsque cette moyenne rejoint celle de l'espace entier, le comportement local dans le temps traduit une propriété globale de l'espace préservé.

À quoi elle sert

Elle sert à relier des moyennes observées le long d'évolutions à des moyennes globales.

  • physique statistique
  • théorie des nombres

Où elle se place

Elle appartient à l'étude des systèmes dynamiques qui préservent une mesure et de leur comportement moyen à long terme.

Cas d’usage

Faisons avancer une aiguille de cinq positions sur un cadran numéroté de \(0\) à \(11\). Chaque position a le même poids, ou mesure, \(1/12\). La moitié haute contient \(10,11,0,1,2,3\). Sa part dans le cadran, la moyenne spatiale, vaut \(6/12=1/2\).

$$0\to5\to10\to3\to8\to1$$
$${}\to6\to11\to4\to9\to2\to7\to0$$

L'aiguille visite chaque position une fois : \(5\) et \(12\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(1\). Elle passe six fois en haut sur douze. Cette proportion le long du parcours est la moyenne temporelle. Elle vaut \(1/2\), quel que soit le départ : le système est ergodique.

Avec un pas de \(4\), les parcours se referment autrement : \(0\to4\to8\to0\), \(1\to5\to9\to1\), \(2\to6\to10\to2\), \(3\to7\to11\to3\). Leurs proportions en haut sont \(1/3\), \(1/3\), \(2/3\), \(2/3\). Elles dépendent du départ : le système n'est plus ergodique.

Reprenons le pas de \(5\). Depuis les positions hautes \(0,1,2,3,10,11\), les premiers retours en haut prennent respectivement \(2,2,2,2,1,3\) pas :

$$\frac{2+2+2+2+1+3}{6}=2=\frac{1}{1/2}$$

Le retour moyen est l'inverse de la mesure de cette moitié. Pour revenir exactement en \(0\), il faut \(12=1/(1/12)\) pas.

Tournons maintenant sur un cercle de longueur \(1\), en avançant de \(\sqrt2\approx1{,}41421\). Ce nombre est irrationnel : aucun quotient d'entiers ne lui est égal. On ne garde que la partie après la virgule. Les positions arrondies sont :

$$0\to0{,}4142\to0{,}8284\to0{,}2426$$
$${}\to0{,}6569\to\cdots$$

Dans l'arc \([0;0{,}3[\), qui exclut son extrémité droite, tombent \(300\) des \(1\,000\) premiers points, \(31\) des \(100\) premiers, et \(3\) des \(10\) premiers. À long terme, la proportion tend vers la longueur \(0{,}3\).

Un quart de tour donne seulement \(0\), \(1/4\), \(1/2\), \(3/4\) : deux positions sur quatre dans l'arc, soit \(1/2\). Depuis \(0{,}1\), on visite \(0{,}1\), \(0{,}35\), \(0{,}6\), \(0{,}85\) : une sur quatre. Cette rotation rationnelle referme le parcours ; la moyenne dépend du départ.

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Sources

  • Wikidata CC0-1.0
  • Rédaction Synapx INTERNE