Histoire des mathématiques Concept

algèbre de von Neumann

Concept

une *-algèbre d'opérateurs bornés sur un espace de Hilbert, fermée pour la topologie faible, et qui contient l'opérateur identité

domaine
AW*-algèbre · C*-algèbre

Son histoire

En 1929, John von Neumann commence à étudier ces ensembles d'opérations. Son premier article paraît l'année suivante. Il y arrive par plusieurs chemins, dont l'étude des groupes et la mécanique quantique. L'article contient aussi un résultat qui montre que deux façons de les définir reviennent au même.

Avec Francis Murray, il développe la théorie dans une série d'articles des années 1930 et 1940. Les deux hommes ne parlent pas encore d'algèbres de von Neumann. Ils les nomment anneaux d'opérateurs. En 1936, ils les répartissent en trois familles, appelées I, II et III.

Cette année-là, ils ignorent encore si la troisième famille existe réellement. Von Neumann en trouve les premiers exemples en 1940. Les objets de type III passent longtemps pour intraitables. Leur étude progresse ensuite, et plusieurs familles finissent par être classées.

Le premier livre consacré au sujet est publié par Jacques Dixmier en 1957. On lui attribue souvent le nom actuel, à tort. Dans un entretien de 2009, Dixmier explique que Jean Dieudonné l'avait proposé. Certains auteurs préfèrent dire W étoile algèbre pour parler de la même idée sans choisir d'espace particulier.

Alain Connes commence sa carrière en étudiant les types II et III. Né à Draguignan en 1947, il reçoit la médaille Fields en 1982. En 1976, il achève presque entièrement le classement d'une grande famille de ces objets.

Sources : M. Berger (dir.), Cinq siècles de mathématiques en France (2005) ; Wikipédia, articles « Von Neumann algebra », « Algèbre de von Neumann » et « Jacques Dixmier ».

Énoncé

$$\begin{aligned}N''&=N\\1&\in N\end{aligned}$$

Cas d’usage

Une algèbre de von Neumann est une famille d'opérateurs, des transformations agissant sur un espace de dimension infinie, stable par les opérations usuelles et fermée en un sens précis.

  • Théorie de la mesure sans commutativité : quand ces opérateurs commutent entre eux, l'algèbre s'identifie aux fonctions mesurables bornées sur un espace ; le cas général prolonge donc la théorie de la mesure à des objets qui ne commutent pas, les mesures y étant remplacées par des traces et des poids.
  • Classer ces algèbres : les traces permettent de les ranger en trois grands types, et de montrer qu'une famille d'algèbres obtenues comme limites d'algèbres de matrices est unique à isomorphisme près.
  • Une théorie plus fine associe à chaque algèbre un groupe qui mesure son écart à la commutativité ; elle a fourni des invariants qui classent complètement toute une famille de ces algèbres, travail récompensé par une médaille Fields.

Liens

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Sources