Histoire des mathématiques Discipline

analyse fractionnaire

Discipline

branche de l'analyse mathématique avec des applications fractionnaires de dérivées et d'intégrales

domaine
calcul infinitésimal

Pour comprendre

L'analyse fractionnaire est une branche de l'analyse mathématique qui étend les opérations de dérivation et d'intégration à des ordres qui ne sont plus nécessairement des nombres entiers.

Ce qu'elle étudie

Elle explore ce que peuvent signifier des dérivées et des intégrales fractionnaires, en cherchant des applications à ces opérations généralisées.

Où elle se place

L'analyse fractionnaire est une branche du calcul infinitésimal, aux côtés de l'analyse microlocale, du calcul différentiel et du calcul intégral.

flowchart TD
  P0[calcul infinitésimal] --> D([analyse fractionnaire])
  P0 --> S0[analyse microlocale]
  P0 --> S1[calcul différentiel]
  P0 --> S2[calcul intégral]

Cas d’usage

Calculons la demi-dérivée de \(x\), une dérivée d'ordre \(1/2\). La dérivée ordinaire mesure la pente. Prenons les dérivées à partir de \(0\), pour \(x\gt0\). Pour une puissance, la règle est :

$$D^\alpha x^k=\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k+1-\alpha)}x^{k-\alpha}$$

L'ordre \(\alpha\) peut être fractionnaire. La fonction \(\Gamma\) prolonge la factorielle \(n!\), produit des entiers de \(1\) à \(n\) : \(\Gamma(n+1)=n!\). Ainsi, \(\Gamma(1)=1\), \(\Gamma(2)=1\) et \(\Gamma(5)=24\). Aux valeurs intermédiaires :

$$\Gamma(1/2)=\sqrt\pi\approx1{,}7725$$
$$\Gamma(3/2)=\sqrt\pi/2\approx0{,}8862$$

Pour \(\alpha=1\), on retrouve les dérivées ordinaires : \(D^1x^2=2x\) et \(D^1x^3=3x^2\). Appliquons la règle à \(x\) :

$$D^{1/2}x=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(3/2)}x^{1/2}$$
$${}=\frac1{\sqrt\pi/2}\sqrt x=\frac{2\sqrt x}{\sqrt\pi}$$

En \(x=1\), cela donne \(2/\sqrt\pi\approx1{,}1284\) ; en \(x=4\), \(4/\sqrt\pi\approx2{,}2568\).

Dérivons encore une demi-fois :

$$D^{1/2}\left(\frac{2\sqrt x}{\sqrt\pi}\right)$$
$${}=\frac2{\sqrt\pi}\frac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1)}x^0$$
$${}=\frac2{\sqrt\pi}\frac{\sqrt\pi}2=1$$

Ici, deux demi-dérivées retrouvent la dérivée ordinaire de \(x\).

Calculons maintenant la demi-dérivée de la constante \(1\). La même règle donne :

$$D^{1/2}1=\frac{\Gamma(1)}{\Gamma(1/2)}x^{-1/2}$$
$${}=\frac1{\sqrt{\pi x}}$$

En \(x=1\), elle vaut \(1/\sqrt\pi\approx0{,}5642\). La dérivée ordinaire d'une constante vaut \(0\). Sa demi-dérivée, elle, dépend de \(x\) et décroît quand \(x\) augmente.

Une demi-dérivée de plus l'annule. Le quotient suivant se lit par sa valeur limite, car \(\Gamma(0)\) n'est pas une valeur finie :

$$D^{1/2}x^{-1/2}=\frac{\Gamma(1/2)}{\Gamma(0)}=0$$

Le facteur constant ne change pas ce résultat. Au total, nous retrouvons \(D^1 1=0\).

Sources