Histoire des mathématiques Discipline

analyse numérique

Discipline

étude des algorithmes utilisant des approximations numériques pour résoudre des problèmes d'analyse mathématique

domaine
Mathématiques appliquées · mathématiques computationnelles

Pour comprendre

L'analyse numérique étudie les algorithmes qui permettent de résoudre, par des approximations chiffrées, des problèmes issus de l'analyse mathématique.

Ce qu'elle étudie

Elle s'intéresse aux méthodes de calcul approché : comment transformer un problème mathématique, souvent impossible à résoudre exactement, en une suite d'opérations numériques qui s'en rapprochent progressivement.

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Cette formule illustre une méthode d'approximation : chaque étape corrige la précédente et rapproche un peu plus le résultat de la solution recherchée.

À quoi elle sert

  • résoudre des problèmes d'analyse qui n'ont pas de solution exacte calculable directement
  • fournir des méthodes de calcul aux mathématiques appliquées et computationnelles

Où elle se place

L'analyse numérique appartient aux mathématiques appliquées et aux mathématiques computationnelles ; elle a pour branche l'algèbre linéaire numérique.

flowchart TD
  D([analyse numérique])
  D --> E0[algèbre linéaire numérique]

La méthode de Newton

Cette figure résout \(x^2 = 2\) par approximations successives. Depuis \(x_0 = 2\), chaque tangente à la courbe donne une estimation meilleure : \(x_1 = 1{,}5\), puis \(x_2 \approx 1{,}4167\), déjà tout près de \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Cette convergence rapide illustre l'esprit de l'analyse numérique : approcher vite et contrôler l'erreur.

{ "boundingBox": [ 0.6, 2.6, 2.4, -1.2 ], "axis": true, "functions": [ { "expression": "x^2-2", "range": [ 0.7, 2.3 ], "color": "#2563eb", "width": 2, "label": "y = x² − 2" } ], "segments": [ { "from": [ 2.0, 2.0 ], "to": [ 1.5, 0 ], "color": "#dc2626", "width": 2 }, { "from": [ 1.5, 0 ], "to": [ 1.5, 0.25 ], "color": "#9ca3af", "width": 1 }, { "from": [ 1.5, 0.25 ], "to": [ 1.4167, 0 ], "color": "#dc2626", "width": 2 }, { "from": [ 1.4167, 0 ], "to": [ 1.4167, 0.0069 ], "color": "#9ca3af", "width": 1 } ], "points": [ { "x": 2.0, "y": 0, "name": "x0", "color": "#dc2626", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 1.5, "y": 0, "name": "x1", "color": "#dc2626", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 1.4167, "y": 0, "name": "x2", "color": "#dc2626", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 1.4142, "y": 0, "name": "√2", "color": "#16a34a", "size": 2, "fixed": true } ] }

Cas d’usage

Approchons l'intégrale \(\int_0^1x^2\,dx\), l'aire sous la courbe sur \([0,1]\), par des trapèzes. Sa valeur exacte est \(1/3\approx0{,}3333\).

Le pas \(h\) est la distance entre deux points successifs. Avec \(h=1/4\), aux points \(0\), \(1/4\), \(1/2\), \(3/4\), \(1\), les valeurs de \(x^2\) sont \(0\), \(1/16\), \(1/4\), \(9/16\), \(1\).

Relions les points voisins par des segments. Chaque trapèze a pour aire le pas multiplié par la moyenne de ses deux hauteurs. En additionnant, chaque hauteur intérieure sert à deux trapèzes et compte en entier ; les deux extrémités comptent pour moitié :

$$T_4=h\left(\frac02+\frac1{16}+\frac14+\frac9{16}+\frac12\right)$$
$${}=\frac14\cdot\frac{11}8=\frac{11}{32}=0{,}34375$$

L'erreur, l'écart à la valeur exacte, vaut \(1/96\approx0{,}0104\). Avec \(h=1/8\) :

$$T_8=\frac{43}{128}=0{,}3359375$$

L'erreur vaut \(1/384\approx0{,}0026\). Le pas est divisé par \(2\), l'erreur par \(4\). C'est une méthode d'ordre \(2\) : cette relation permet de prévoir le pas nécessaire pour une précision donnée.

Approchons maintenant la solution de \(y'=y\), avec \(y(0)=1\). Cette équation différentielle dit que la pente \(y'\) est égale à la hauteur \(y\). En \(x=1\), la solution exacte vaut \(e\approx2{,}7183\).

La méthode d'Euler suit la pente pendant chaque pas \(h\). À l'étape \(n\), la hauteur est \(y_n\). On ajoute le pas multiplié par la pente :

$$y_{n+1}=y_n+h\cdot y_n$$

Avec un pas de \(0{,}5\), partons de \(1\) :

$$1+0{,}5\cdot1=1{,}5$$
$$1{,}5+0{,}5\cdot1{,}5=2{,}25$$

Nous arrivons en \(x=1\), avec une erreur d'environ \(0{,}4683\). Avec un pas de \(0{,}25\), chaque étape multiplie la hauteur par \(1{,}25\) :

$$(1{,}25)^4=625/256\approx2{,}4414$$

L'erreur vaut environ \(0{,}2769\). Avec un pas de \(0{,}125\) :

$$(1{,}125)^8\approx2{,}5658$$

L'erreur vaut environ \(0{,}1525\). Elle est à peu près divisée par \(2\) quand le pas est divisé par \(2\) : c'est une méthode d'ordre \(1\), plus lente à converger que celle des trapèzes.

Liens

comprend
a pour branche

Sources