Histoire des mathématiques Discipline

Mathématiques appliquées

Discipline

discipline des mathématiques

domaine
Mathématiques

Pour comprendre

Les mathématiques appliquées forment une discipline des mathématiques tournée vers des problèmes issus d'autres domaines, plutôt que vers l'étude des objets mathématiques pour eux-mêmes.

À quoi elles servent

Cette orientation se retrouve dans les branches qui la composent, chacune mettant des méthodes mathématiques au service d'un domaine particulier :

  • la biomathématique, pour les questions issues de la biologie
  • l'ingénierie mathématique
  • les mathématiques financières
  • la théorie de l'approximation

Où elles se placent

Les mathématiques appliquées sont une branche des mathématiques.

flowchart TD
  P0[Mathématiques] --> D([Mathématiques appliquées])
  D --> E0[biomathematique]
  D --> E1[ingénierie mathématique]
  D --> E2[mathématiques financières]
  D --> E3[théorie de l'approximation]

Oscillation amortie

Cette figure représente une oscillation amortie \(y = e^{-0{,}3x} \cos(3x)\), encadrée par les deux enveloppes \(\pm e^{-0{,}3x}\). Elle modélise un système physique qui vibre en perdant de l'énergie, comme une suspension, une corde ou un circuit. L'amplitude décroît tandis que les oscillations se poursuivent.

{ "boundingBox": [ -0.5, 1.25, 12.2, -1.25 ], "axis": true, "functions": [ { "expression": "exp(-0.3*x)*cos(3*x)", "range": [ 0, 12 ], "color": "#2563eb", "width": 2, "label": "oscillation amortie" }, { "expression": "exp(-0.3*x)", "range": [ 0, 12 ], "color": "#dc2626", "width": 1, "dash": "dashed", "label": "" }, { "expression": "-exp(-0.3*x)", "range": [ 0, 12 ], "color": "#dc2626", "width": 1, "dash": "dashed", "label": "" } ] }

Cas d’usage

Calculons la température du mélange de 2 litres d'eau à 10 °C et de 3 litres à 40 °C. Notre modèle, une représentation simplifiée, suppose que la chaleur perdue par l'eau chaude passe dans l'eau froide. La moyenne est pondérée : chaque température compte selon le volume d'eau.

$$T=\frac{2\times10+3\times40}{2+3}$$
$${}=\frac{140}{5}=28\,^\circ\mathrm{C}$$

Contrôlons les échanges en multipliant chaque volume par sa variation de température. Pour l'eau froide, le gain donne \(2\times(28-10)=36\) ; pour l'eau chaude, la perte donne \(3\times(40-28)=36\). Le modèle néglige les pertes vers l'air et le récipient : la mesure donnerait un peu moins.

Cherchons le plus grand jardin rectangulaire avec 20 m de clôture et un mur pour quatrième côté. Chaque côté perpendiculaire au mur mesure \(x\), et le côté restant \(20-2x\). L'aire s'écrit :

$$x(20-2x)=-2x^2+20x$$
$${}=50-2(x-5)^2$$

Le carré \((x-5)^2\) est positif ou nul : on retranche donc toujours quelque chose à \(50\), sauf pour \(x=5\). L'aire maximale est alors de \(50\ \mathrm{m}^2\), pour un jardin de 5 m sur 10 m. Pour \(x=4\) ou \(x=6\), elle n'est que de \(48\ \mathrm{m}^2\).

Estimons le nombre de poissons d'un étang. Pêchons-en 50, marquons-les et relâchons-les. Plus tard, une pêche de 40 poissons en contient 8 marqués. Appelons \(N\) le nombre total recherché.

Le modèle suppose que les poissons marqués se sont mélangés aux autres. Leur proportion dans l'étang, \(50/N\), est alors prise égale à celle de la pêche, \(8/40=1/5\) :

$$\frac{50}{N}=\frac{1}{5}$$
$$N=50\times40/8=250$$

On estime donc la population à 250 poissons. Une autre pêche de 40 pourrait donner un autre nombre de marqués. La statistique exploite ces observations ; les probabilités étudient les chances de chaque résultat pour évaluer l'erreur.

Liens

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Sources