Histoire des mathématiques Discipline

mathématiques financières

Discipline

discipline des mathématiques appliquées

domaine
Mathématiques appliquées · finance

Pour comprendre

Les mathématiques financières forment une branche des mathématiques appliquées consacrée aux problèmes posés par la finance. Elles fournissent les outils de calcul nécessaires pour raisonner sur l'argent, le temps et l'incertitude qui accompagnent toute décision financière.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline étudie la manière de représenter mathématiquement des flux d'argent qui évoluent dans le temps et dont la valeur future est incertaine. Elle s'appuie sur des outils mathématiques et probabilistes pour donner un cadre rigoureux à des questions concrètes de finance.

À quoi elle sert

Les mathématiques financières servent notamment à :

  • évaluer la valeur d'un produit financier
  • mesurer et gérer les risques liés à un placement
  • construire des modèles pour anticiper l'évolution de marchés
  • éclairer des décisions d'investissement

Où elle se place

Les mathématiques financières se situent au croisement des mathématiques appliquées et de la finance ; elles côtoient d'autres branches des mathématiques appliquées comme la biomathématique, l'ingénierie mathématique ou la théorie de l'approximation.

flowchart TD
  P0[Mathématiques appliquées] --> D([mathématiques financières])
  P1[finance] --> D([mathématiques financières])
  P0 --> S0[biomathematique]
  P0 --> S1[ingénierie mathématique]
  P0 --> S2[théorie de l'approximation]

Cas d’usage

Comparons 1 200 € aujourd'hui à 1 250 € dans un an. Tous les montants, taux et probabilités de ces exemples sont des valeurs d'énoncé inventées. Supposons un placement sans risque à 3 % par an :

$$1\,200\times1{,}03=1\,236$$

Les 1 236 € obtenus restent inférieurs aux 1 250 € promis. Actualiser, c'est ramener une somme future à sa valeur aujourd'hui :

$$1\,250/1{,}03\approx1\,213{,}59$$

C'est plus que 1 200 €. Les deux calculs donnent le même choix : attendre vaut mieux à ce taux. À un taux assez élevé, le choix changerait.

Calculons la prime pure d'une assurance, le montant moyen à encaisser pour couvrir les sinistres avant frais et marge. Un sinistre, un dommage couvert, coûterait 4 000 € et aurait une chance sur 200 de survenir dans l'année. L'espérance, la perte moyenne par contrat, vaut :

$$4\,000\times1/200=20$$

La prime pure est donc de 20 €. Avec 10 000 contrats, on attend \(10\,000/200=50\) sinistres. Le montant moyen à payer est :

$$50\times4\,000=200\,000$$

Les primes encaissées donnent :

$$10\,000\times20=200\,000$$

Les comptes s'équilibrent en moyenne.

Calculons la mensualité d'un prêt de 10 000 € remboursé en 24 mois, à 0,25 % par mois sur le capital restant dû, la somme encore à rembourser. Pour le capital \(C=10\,000\), le taux mensuel \(i=0{,}0025\) et \(n=24\) mensualités égales :

$$m=\frac{C\times i}{1-(1+i)^{-n}}$$

La puissance vaut \((1{,}0025)^{24}\approx1{,}0618\). En gardant sa valeur non arrondie dans le calcul, on obtient \(m\approx429{,}81\) €. La première mensualité contient \(10\,000\times0{,}0025=25\) € d'intérêts et 404,81 € de capital remboursé.

Avec ces mensualités arrondies, le total payé est \(24\times429{,}81=10\,315{,}44\) €, soit 315,44 € d'intérêts.

Liens

comprend

Sources