Histoire des mathématiques Discipline

probabilités appliquée

Discipline

application de la théorie des probabilités

domaine
Mathématiques appliquées · Théorie des probabilités

Pour comprendre

Les probabilités appliquées désignent l'application de la théorie des probabilités à des problèmes concrets. Elles mettent au service de situations réelles les outils que la théorie des probabilités a développés pour décrire et mesurer le hasard.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline étudie comment mobiliser les notions de la théorie des probabilités pour analyser des phénomènes aléatoires rencontrés en dehors des mathématiques elles-mêmes, dans des domaines variés relevant plus largement des mathématiques appliquées.

À quoi elle sert

Les probabilités appliquées servent notamment à :

  • modéliser des phénomènes soumis au hasard dans des situations concrètes
  • évaluer des risques ou des incertitudes rencontrés dans la pratique
  • éclairer des décisions prises en contexte incertain

Où elle se place

Les probabilités appliquées appartiennent à la fois à la théorie des probabilités et aux mathématiques appliquées.

Cas d’usage

Comptons les pannes d'une machine. Supposons qu'elle tombe en panne 3 fois par an en moyenne, au hasard et indépendamment d'une fois sur l'autre. La loi de Poisson donne la probabilité d'en compter exactement \(k\) dans l'année, \(k!\) désignant le produit des entiers de \(1\) à \(k\) :

$$P(k)=e^{-3}\times3^k/k!$$

Une année sans panne a pour probabilité \(P(0)=e^{-3}\approx0{,}0498\), soit 5 % des cas. Une seule panne : \(P(1)=3e^{-3}\approx0{,}1494\) ; au plus une : \(0{,}199\). Deux et trois pannes sont aussi probables, \(P(2)=P(3)\approx0{,}2240\), car \(3^2/2!=3^3/3!=4{,}5\).

Les probabilités de 0 à 5 pannes totalisent \(0{,}9161\). Au moins 6 pannes : \(1-0{,}9161\), soit 8,4 % : un budget prévu pour 5 pannes laisse une année sur douze découverte.

Calculons le risque de vendre trop de billets. Une compagnie propose 102 billets pour 100 sièges. Supposons que chaque passager se présente avec une probabilité de \(0{,}95\), soit 5 % d'absents, indépendamment des autres. Le nombre moyen de présents est \(102\times0{,}95=96{,}9\).

Il manque des sièges si 101 ou 102 passagers viennent. Notons \(P\) la probabilité du nombre indiqué :

$$P(102)=0{,}95^{102}\approx0{,}0053$$
$$P(101)=102\times0{,}95^{101}\times0{,}05$$
$${}\approx0{,}0287$$

Le facteur 102 compte les choix du seul absent. Les deux cas s'ajoutent : environ \(0{,}034\), soit 3,4 % des vols. Avec 103 billets, le risque atteint 10,6 % ; avec 105, 39,2 %. Ce risque se compare au coût des sièges vides.

Comparons des montages de composants. Supposons que chacun fonctionne un an avec une probabilité de \(0{,}9\), indépendamment des autres. En série, tous doivent fonctionner : trois composants donnent \(0{,}9^3=0{,}729\) ; dix, environ \(0{,}349\).

En parallèle, un seul composant suffit. Avec deux, la panne exige deux défaillances : \(0{,}1^2=0{,}01\). La fiabilité, probabilité de fonctionner, vaut donc \(0{,}99\) ; avec trois, \(0{,}999\).

Pour deux chaînes de trois composants en série, placées en parallèle, calculons la probabilité que les deux chaînes ne tombent pas ensemble en panne :

$$1-(1-0{,}729)^2\approx0{,}9266$$

La redondance se calcule avant de construire.

Sources