théorie de l'approximation

Discipline

théorie permettant d'obtenir des calculs mathématiques inexacts mais acceptables

domaine: Mathématiques appliquées

Pour comprendre

La théorie de l'approximation s'intéresse aux méthodes qui permettent d'obtenir des résultats mathématiques proches de la réalité, sans viser une exactitude parfaite, dès lors que cette proximité reste suffisante pour l'usage visé.

Ce qu'elle étudie

Elle rassemble les moyens de produire des calculs inexacts mais acceptables : plutôt que de chercher une solution exacte, souvent impossible ou trop coûteuse à obtenir, elle propose des résultats approchés dont l'écart avec la valeur réelle reste maîtrisé.

Où elle se place

Elle appartient aux mathématiques appliquées, aux côtés d'autres branches tournées vers la résolution de problèmes concrets, comme la biomathématique, l'ingénierie mathématique ou les mathématiques financières.

flowchart TD
  P0[Mathématiques appliquées] --> D([théorie de l'approximation])
  P0 --> S0[biomathematique]
  P0 --> S1[ingénierie mathématique]
  P0 --> S2[mathématiques financières]

Approcher par des polynômes

Cette figure superpose la courbe de $\sin x$ et ses approximations polynomiales successives : $x$, puis $x - x^3/6$, puis $x - x^3/6 + x^5/120$. Chaque terme supplémentaire élargit la zone où le polynôme colle à la courbe. Approcher une fonction difficile par des expressions simples est le cœur de la discipline.

{ "boundingBox": [ -3.9, 2.1, 3.9, -2.1 ], "axis": true, "functions": [ { "expression": "sin(x)", "color": "#2563eb", "width": 3, "label": "sin x" }, { "expression": "x", "color": "#dc2626", "width": 1, "dash": "dotted", "label": "x" }, { "expression": "x-(x^3)/6", "color": "#16a34a", "width": 1, "dash": "dashed", "label": "x − x³/6" }, { "expression": "x-(x^3)/6+(x^5)/120", "color": "#9333ea", "width": 1, "dash": "dashed", "label": "+ x⁵/120" } ] }

Cas d’usage

Remplaçons $\sqrt x$ par une droite sur $[0,1]$. La corde, droite joignant $(0,0)$ à $(1,1)$, est $y=x$. Son erreur $\sqrt x-x$ atteint $1/4$ en $x=1/4$.

Relevons la droite : $y=x+1/8$. L'erreur devient $\sqrt x-x-1/8$. Elle vaut $-1/8$ en $0$, $+1/8$ en $1/4$, puis $-1/8$ en $1$. Elle ne dépasse jamais $1/8$ en valeur absolue, c'est-à-dire sans tenir compte du signe. Aucune droite ne fait mieux : diminuer l'erreur aux deux bouts obligerait à abaisser la droite, ce qui augmenterait l'erreur en $1/4$. Les erreurs extrêmes alternent : $-,+,-$.

Approchons ensuite $x^3$ par une droite sur $[-1,1]$. Le début du développement en $0$, la droite nulle, laisse une erreur de taille $1$ en $x=\pm1$. Avec $y=x$, la plus grande erreur vaut $2\sqrt3/9\approx0{,}385$.

La meilleure droite est $y=(3/4)x$. En $x=-1,-1/2,1/2,1$, l'erreur $x^3-(3/4)x$ vaut successivement $-1/4,+1/4,-1/4,+1/4$, sans jamais dépasser $1/4$ en valeur absolue. Multiplions cette erreur par $4$ :

$$4x^3-3x$$

C'est le polynôme de Tchebychev de degré $3$, donc de plus grand exposant $3$. Parmi ceux dont le coefficient devant $x^3$ vaut $4$, il s'écarte le moins de $0$ sur $[-1,1]$.

Approchons enfin l'exponentielle $\exp(x)$ sur $[0,1]$. La tangente en $0$, droite qui y partage sa pente, est $y=1+x$. L'erreur est faible près de $0$, mais atteint $e-2\approx0{,}718$ en $1$.

La droite des moindres carrés minimise la moyenne du carré de l'erreur sur tout l'intervalle. Elle s'écrit $y=a+bx$, avec

$$a=4e-10\approx0{,}873$$

$$b=18-6e\approx1{,}690$$

L'erreur vaut $0{,}127$ en $0$, $0{,}155$ en $1$, et $-0{,}070$ au creux, en $x=\ln b\approx0{,}525$, où $\ln$ est le logarithme naturel. La plus grande erreur, $0{,}155$, est environ $4{,}6$ fois plus petite que celle de la tangente. L'erreur quadratique moyenne, racine de la moyenne des carrés, passe de $0{,}302$ à $0{,}063$.

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q774123