Histoire des mathématiques Problème

approximation de π

Problème

histoire des techniques de calcul d'une valeur approchée de π

Pour comprendre

rédaction

Mesurer le rapport du cercle

Le nombre \(\pi\) mesure le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Quelle que soit la taille du cercle, ce rapport reste le même. Les civilisations anciennes en ont donc recherché des valeurs approchées afin de calculer longueurs, surfaces et volumes.

Une approximation ne donne pas \(\pi\) exactement, mais fournit une valeur suffisamment proche pour un usage donné. Plus le nombre de chiffres corrects augmente, plus les calculs deviennent précis. L'histoire de \(\pi\) est ainsi celle d'un perfectionnement progressif des méthodes de calcul.

Encadrer plutôt que deviner

Archimède approche \(\pi\) en comparant le cercle à des polygones placés à l'intérieur et à l'extérieur. Leurs périmètres donnent un encadrement : \(\pi\) se situe entre deux valeurs connues. Cette idée transforme une estimation en raisonnement contrôlé.

La transcendance de \(\pi\) établit qu'aucune fraction ne peut l'exprimer exactement. Elle montre aussi qu'aucune construction classique ne peut produire sa valeur exacte, même si les approximations peuvent être extrêmement précises.

Repères historiques

  • valeurs babyloniennes et égyptiennes vers -1800 (3,125 et 3,1605)
  • encadrement d'Archimède par les polygones vers -250
  • 355/113 par Zu Chongzhi vers 480
  • 16 décimales par Al-Kachi en 1424
  • transcendance démontrée par Lindemann en 1882

La figure place les approximations successives face à \(\pi\).

{ "boundingBox": [ -2100, 3.185, 2350, 3.1 ], "axis": true, "functions": [ { "expression": "3.14159265", "range": [ -2000, 1600 ], "color": "#2563eb", "width": 1, "dash": "dashed", "label": "π" } ], "points": [ { "x": -1800, "y": 3.125, "name": "Babylone", "color": "#dc2626", "size": 2, "fixed": true }, { "x": -1650, "y": 3.1605, "name": "Égypte", "color": "#dc2626", "size": 2, "fixed": true }, { "x": -250, "y": 3.1418, "name": "Archimède", "color": "#dc2626", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 480, "y": 3.1415926, "name": "Zu Chongzhi", "color": "#dc2626", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 1424, "y": 3.14159265, "name": "Al-Kachi", "color": "#dc2626", "size": 2, "fixed": true } ] }

Dates

premiere trace
valeurs babyloniennes et égyptiennes approximative
formalisation
transcendance de pi, Lindemann

Liens

comprend
est traité dans

Sources