Histoire des mathématiques Concept
axiome du choix
Conceptaxiome selon lequel le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide
- domaine
- théorie des ensembles
Son histoire
Bertrand Russell imagine un millionnaire qui possède une infinité de paires de chaussures et de chaussettes. Choisir toujours le soulier droit fournit une règle. Pour les chaussettes, que rien ne distingue, il faut l’axiome du choix, que Russell appelle « axiome multiplicatif ».
Giuseppe Peano utilise explicitement ce principe dès 1890. En 1904, Ernst Zermelo l’emploie à son tour dans une démonstration. Le texte tient en trois pages et vient d’une lettre à Hilbert. Émile Borel conteste aussitôt cette démarche.
En 1905 paraissent cinq lettres échangées entre ce dernier, Jacques Hadamard, René Baire et Henri Lebesgue. Hilbert accepte ce principe, tandis que Poincaré le rejette. En 1908, Zermelo en fait l’une des règles de départ de sa théorie des ensembles, ces collections d’objets étudiées en mathématiques.
En 1924, Stefan Banach et Alfred Tarski en tirent une conséquence déroutante. Dans ce raisonnement, une boule est partagée en un nombre fini de morceaux, puis recomposée en deux exemplaires identiques à l’original. Les auteurs d’Histoires de problèmes parlent de « multiplication des petits pois ».
Kurt Gödel montre en 1938 que l’adopter ne contredit pas les autres règles de la théorie des ensembles. On peut aussi le refuser, comme l’établit Paul Cohen en 1963. Plus de deux cents formulations disent la même chose. On attribue à Jerry Bona cette boutade sur trois d’entre elles : la première est manifestement vraie, la deuxième manifestement fausse, et pour la troisième, qui vivra verra.
Sources : Histoires de problèmes, histoire des mathématiques (IREM) ; H. Lehning, Toutes les mathématiques du monde (2017) ; J. Baudet, Histoire des mathématiques (2014) ; Tangente hors-série n° 13, L'infini ; J.-P. Delahaye, Mathématiques et mystères (2016) ; Wikipédia, articles « Axiome du choix » et « Théorème de Zermelo ».
Énoncé
Pour comprendre
En bref
L’axiome du choix affirme que, étant donnée une famille d’ensembles non vides, on peut toujours choisir un élément dans chacun d’eux, même s’ils sont en nombre infini. Pour un nombre fini d’ensembles, c’est un théorème ; c’est l’infini qui oblige à poser un axiome. Bertrand Russell l’illustre ainsi : pour choisir une chaussette dans chaque paire d’une collection infinie, on a besoin de l’axiome ; pour des chaussures, non, car la distinction entre gauche et droite donne un critère de choix.
Avec quatre ensembles, on choisit à la main. L’axiome affirme que le choix reste possible quand la file des ensembles ne s’arrête jamais.
Repères
Ernst Zermelo introduit l’axiome en 1904 ; auparavant, il était souvent utilisé de manière implicite. Son acceptation fait débat au début du XXe siècle, puis il est adopté par une majorité de mathématiciens. En 1924, Stefan Banach et Alfred Tarski en tirent une conséquence étrange : il est possible de découper une boule et de rassembler ses morceaux pour obtenir deux boules identiques à la première. En 1963, Paul Cohen démontre qu’il n’existe pas de preuve de l’axiome dans la théorie des ensembles qui ne le contient pas.
Cas d’usage
- Bon ordre : il permet à Zermelo de prouver, en 1904, que sur tout ensemble il existe au moins un bon ordre.
- Algèbre linéaire : le lemme de Zorn, qui lui est équivalent, permet de montrer que tout espace vectoriel admet une base.
- Théorie des corps : il entraîne l’existence d’une clôture algébrique pour tout corps.
- Topologie : le théorème de Tychonoff, selon lequel le produit d’espaces compacts est compact, lui est équivalent.
- Théorie de la mesure : il prouve l’existence d’au moins une partie des réels qui n’est pas mesurable.
- Analyse : une version faible, l’axiome du choix dénombrable, suffit pour certains théorèmes, comme la caractérisation de la continuité d’une fonction en un point par les suites.
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Sources
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