Histoire des mathématiques Discipline

calcul intégral visuel

Discipline

démonstrations mathématiques visuelles

domaine
calcul intégral

Pour comprendre

Le calcul intégral visuel est une branche du calcul intégral. Le dossier le décrit par les démonstrations mathématiques visuelles.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline se place dans le cadre de démonstrations mathématiques visuelles. La matière fournie ne précise ni les objets représentés ni les méthodes de démonstration concernées.

Où elle se place

Le calcul intégral visuel appartient au calcul intégral.

flowchart TD
  P0[calcul intégral] --> D([calcul intégral visuel])

Cas d’usage

Mesurons l'aire d'une couronne, entre deux cercles de même centre. Le calcul intégral visuel déplace des segments tangents, qui suivent la direction d'une courbe : leur aire balayée égale celle obtenue en les ramenant à une origine commune, sans changer leur direction ni leur longueur.

Une corde du grand cercle, tangente au petit, mesure \(6\). Du contact à son extrémité, le segment mesure \(3\). En tournant, il balaie la couronne. Ramenés à une origine commune, ces segments remplissent un disque de rayon \(3\). L'aire cherchée vaut donc \(\pi\times3^2=9\pi\approx28{,}27\).

Avec des rayons \(4\) et \(5\), vérifions : \(5^2=4^2+3^2\), puis \(\pi(25-16)=9\pi\). Avec \(1\) et \(\sqrt{10}\), on retrouve \(10-1=9\). La corde suffit à déterminer l'aire.

Mesurons ensuite l'aire sous une arche de cycloïde, la trace d'un point d'un cercle de rayon \(1\) roulant sur une droite. L'arche tient dans un rectangle de hauteur \(2\), de longueur \(2\pi\), donc d'aire \(4\pi\approx12{,}57\).

Du point qui trace la courbe au sommet du cercle roulant, les segments sont tangents à la cycloïde. Ils mesurent au plus \(2\) et tournent d'un demi-tour. Ils balaient l'espace entre l'arche et le haut du rectangle. Ramenés à une origine commune, ils remplissent un disque de rayon \(1\), d'aire \(\pi\). Sous l'arche, il reste :

$$4\pi-\pi=3\pi\approx9{,}42$$

Contrôle : avec \(x=t-\sin t\) et \(y=1-\cos t\), l'intégrale, somme des petites tranches d'aire, donne \(\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt=3\pi\).

Comparons enfin les traces des roues d'une bicyclette. La roue avant reste sur la tangente à la trace arrière, à distance fixe \(L=1\) mètre. Pour une boucle fermée faisant un tour, le segment entre les roues balaie l'aire entre les traces. Ramené à une origine commune, il remplit un disque : \(\pi\times1^2\approx3{,}14\) mètres carrés. Avec \(L=1{,}2\) mètre, on obtient \(\pi\times1{,}2^2\approx4{,}52\) mètres carrés.

Si la trace arrière a pour rayon \(3\) mètres, le rayon avant vaut \(\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\). La différence d'aire est \(\pi\times10-\pi\times9=\pi\), comme pour un rayon arrière de \(10\) ou \(0{,}5\) mètre.

Sources