Histoire des mathématiques Discipline

calcul intégral

Discipline

branche du calcul infinitésimal

domaine
calcul infinitésimal

Pour comprendre

Le calcul intégral est une branche du calcul infinitésimal. Il comprend le calcul intégral visuel.

Ce qu'elle étudie

La formule fournie relie l’intégration d’une dérivée entre deux bornes à la variation totale de la fonction entre ces bornes. Elle présente ainsi le lien entre dérivée et intégrale.

$$\int_a^b f'(x)\,\mathrm{d}x = f(b) - f(a)$$

Cette formule signifie qu’intégrer une vitesse de variation entre deux bornes redonne la variation totale.

Où elle se place

Le calcul intégral appartient au calcul infinitésimal. Le diagramme indique que le calcul intégral visuel en est une branche.

flowchart TD
  P0[calcul infinitésimal] --> D([calcul intégral])
  D --> E0[calcul intégral visuel]

L'aire par les rectangles

Cette figure approche l'aire sous la parabole \(y = x^2\) entre 0 et 2 par huit rectangles : c'est une somme de Riemann. En multipliant les rectangles, la somme de leurs aires se rapproche de l'aire exacte, ici \(8/3\). Le calcul intégral donne directement cette valeur limite.

{ "boundingBox": [ -0.4, 4.4, 2.5, -0.5 ], "axis": true, "polygons": [ { "vertices": [ [ 0.0, 0 ], [ 0.25, 0 ], [ 0.25, 0.0 ], [ 0.0, 0.0 ] ], "fillColor": "#93c5fd", "color": "#2563eb" }, { "vertices": [ [ 0.25, 0 ], [ 0.5, 0 ], [ 0.5, 0.0625 ], [ 0.25, 0.0625 ] ], "fillColor": "#93c5fd", "color": "#2563eb" }, { "vertices": [ [ 0.5, 0 ], [ 0.75, 0 ], [ 0.75, 0.25 ], [ 0.5, 0.25 ] ], "fillColor": "#93c5fd", "color": "#2563eb" }, { "vertices": [ [ 0.75, 0 ], [ 1.0, 0 ], [ 1.0, 0.5625 ], [ 0.75, 0.5625 ] ], "fillColor": "#93c5fd", "color": "#2563eb" }, { "vertices": [ [ 1.0, 0 ], [ 1.25, 0 ], [ 1.25, 1.0 ], [ 1.0, 1.0 ] ], "fillColor": "#93c5fd", "color": "#2563eb" }, { "vertices": [ [ 1.25, 0 ], [ 1.5, 0 ], [ 1.5, 1.5625 ], [ 1.25, 1.5625 ] ], "fillColor": "#93c5fd", "color": "#2563eb" }, { "vertices": [ [ 1.5, 0 ], [ 1.75, 0 ], [ 1.75, 2.25 ], [ 1.5, 2.25 ] ], "fillColor": "#93c5fd", "color": "#2563eb" }, { "vertices": [ [ 1.75, 0 ], [ 2.0, 0 ], [ 2.0, 3.0625 ], [ 1.75, 3.0625 ] ], "fillColor": "#93c5fd", "color": "#2563eb" } ], "functions": [ { "expression": "x^2", "range": [ -0.2, 2.1 ], "color": "#1e3a8a", "width": 2, "label": "y = x²" } ] }

Cas d’usage

Calculons le volume d'un cône par tranches. Plaçons la pointe en haut. La hauteur vaut \(4\), le rayon de base \(3\). Le rayon grandit dans la même proportion que la distance à la pointe. À la distance \(x\), la tranche est donc un disque de rayon \(3x/4\). Son aire vaut :

$$\pi(3x/4)^2=9\pi x^2/16$$

L'intégrale additionne les volumes de tranches de plus en plus fines, de la pointe jusqu'à la base :

$$\int_0^4\frac{9\pi x^2}{16}\,dx$$
$${}=\left[\frac{3\pi x^3}{16}\right]_0^4$$

Les crochets demandent de calculer l'expression en \(4\), puis d'en retrancher la valeur en \(0\). Le volume est donc :

$$3\pi\times64/16=12\pi\approx37{,}7$$

On retrouve \((1/3)\times\pi\times3^2\times4\) : la formule du cône vient de cette addition de tranches.

Calculons la distance parcourue pendant un freinage. La vitesse de la voiture est \(v(t)=10-2t\), en mètres par seconde, avec \(t\) en secondes. Elle s'arrête lorsque \(v=0\), à \(t=5\) s. Additionnons par une intégrale les distances parcourues pendant de petits intervalles de temps :

$$\int_0^5(10-2t)\,dt=[10t-t^2]_0^5$$
$${}=50-25=25$$

La distance est de \(25\) m. On peut aussi lire l'aire du triangle sous la droite représentant la vitesse : sa base vaut \(5\) et sa hauteur \(10\), d'où \(5\times10/2=25\). Intégrer la vitesse redonne la distance.

Mesurons l'aire entre les courbes \(y=x\) et \(y=x^2\). Elles se coupent en \(x=0\) et en \(x=1\). Sur l'intervalle \([0,1]\), la droite est au-dessus de la parabole, la courbe du carré. La hauteur de chaque bande est donc \(x-x^2\). Additionnons les bandes :

$$\int_0^1(x-x^2)\,dx=1/2-1/3=1/6$$

Liens

a pour branche

Sources