Histoire des mathématiques Théorème

critère de Weierstrass

Théorème

méthode en mathématiques

Son histoire

Dans son Cours d'analyse de 1821, Cauchy présente une démonstration erronée sur les additions infinies. En 1826, Niels Henrik Abel donne un exemple où la courbe obtenue comporte une rupture que le raisonnement excluait. Il voyage alors à travers l'Europe et arrive à Paris en juillet.

L'expression « d'une manière uniforme » apparaît probablement pour la première fois dans un article de Christoph Gudermann, en 1838. Elle désigne une même façon de se rapprocher du résultat en tous les points. Cet auteur ne la définit pas et ne l'utilise dans aucune démonstration. Karl Weierstrass suit son enseignement en 1839 et 1840.

L'élève forge un terme allemand pour cette notion dans un mémoire de 1841, publié seulement en 1894. Son père s'était opposé à son goût pour les mathématiques. À partir de 1842, il enseigne dans le secondaire et poursuit seul ses recherches. Un article le fait connaître en 1854, puis il devient professeur à l'université de Berlin en 1856, passé quarante ans. De graves vertiges l'obligent à donner ses cours assis.

Seidel et Stokes ont formulé des idées voisines. Hardy juge celle de Weierstrass antérieure et estime qu'il en a seul mesuré toute la portée. En 1908, René Baire introduit le nom français de « convergence normale ». Le critère de Weierstrass ramène la question à une simple somme de nombres. Les anglophones parlent de « M-test ».

Sources : A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; Wikipédia, articles « Convergence normale », « Weierstrass M-test », « Normal convergence » et « Uniform convergence ».

Énoncé

$$\Big(\forall n,\ \sup_{x\in A}|f_n(x)|\le M_n\Big) \land \sum_{n\ge1} M_n<\infty \implies \sum_{n\ge1} f_n \text{ converge uniformément sur } A$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • Chaque majorant \(M_n\) doit valoir pour tous les \(x\) du domaine à la fois : \(e^{-x\sqrt{n}}\) admet de tels majorants de somme finie sur \([a, +\infty[\) avec \(a > 0\), mais pas sur \(]0, +\infty[\), où elle s'approche de 1.
  • Le critère est suffisant, pas nécessaire : la série des constantes \((-1)^n/n\) converge uniformément, alors qu'aucune suite de majorants de somme finie n'existe, puisque \(\sum 1/n\) diverge.

Cas d’usage

  • Équation de la chaleur : la solution obtenue par séparation des variables est une série de fonctions ; le critère garantit sa convergence uniforme, ce qui autorise à échanger somme et intégrale pour trouver les coefficients et assure que la solution est continue.
  • Séries de Fourier : dès que la somme des valeurs absolues des coefficients est finie, par exemple pour une fonction assez régulière, la série converge uniformément vers la fonction de départ.
  • Séries entières : le critère montre la convergence uniforme sur tout disque fermé strictement intérieur au disque de convergence, d'où la continuité de la fonction définie, par exemple de l'exponentielle complexe.
  • Produits infinis : le produit qui construit une fonction à partir de zéros imposés converge uniformément sur tout domaine fermé et borné, ce qui le rend aussi maniable qu'une série.

Liens

porte le nom de

Sources