Histoire des mathématiques Concept

d'alembertien

Concept

opérateur différentiel qui généralise l'opérateur laplacien, et qui décrit les variations dynamiques spatiales et temporelles d'un champ scalaire

domaine
opérateur différentiel

Énoncé

$$\Box = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}$$

Pour comprendre

Cas d'usage

  • Électromagnétisme : dans la jauge dite de Lorenz, les potentiels électrique et magnétique obéissent chacun à une équation qui fait intervenir cet opérateur, ce qui traduit leur propagation à la vitesse de la lumière à partir de leurs sources.
  • Relativité restreinte : il est l'analogue, dans l'espace-temps, du laplacien de l'espace ordinaire, et reste inchangé par les transformations de Lorentz, contrairement à ce qui se passe pour un changement de référentiel galiléen.
  • Optique ondulatoire : les fonctions qui inversent cet opérateur donnent une forme mathématique précise au principe de propagation des ondes lumineuses de Huygens et Fresnel.
  • Acoustique : les mêmes fonctions décrivent le son émis par un objet en mouvement et le cône d'onde qui se forme derrière un objet supersonique.
  • Physique quantique relativiste : appliquer aux particules la relation entre énergie et impulsion conduit à l'équation de Klein-Gordon, construite sur cet opérateur, qui décrit une particule sans spin compatible avec la relativité.

Liens

porte le nom de

Sources