De la mesure du cercle

Archimède ne mesure pas le cercle directement. Il le compare à un triangle rectangle bien choisi, puis il écarte par l’absurde toute autre possibilité que l’égalité.

Soit un cercle ABCD, et K un triangle rectangle dont un côté de l’angle droit vaut le rayon du cercle, et l’autre sa circonférence.

• Si le cercle était plus grand que K, on inscrirait un carré, puis on couperait ses arcs en deux, encore et encore, jusqu’à ce que l’écart entre le cercle et le polygone inscrit devienne plus petit que l’excès du cercle sur K : le polygone aurait alors une aire plus grande que K.
• Or l’apothème ON de ce polygone est plus court que le rayon, et son périmètre est plus court que la circonférence.
• L’aire d’un polygone régulier vaut la moitié du produit de son périmètre par son apothème ; elle est donc plus petite que K.
• Cela contredit ce qu’on venait d’obtenir : le cercle n’est pas plus grand que K.
• Si le cercle était plus petit que K, on circonscrirait de même un polygone, en retranchant chaque fois plus de la moitié de l’espace resté entre le cercle et lui, jusqu’à ce que son aire devienne plus petite que K.
• Mais la perpendiculaire tirée du centre sur un côté de ce polygone vaut exactement le rayon, et son périmètre est plus grand que la circonférence.
• L’aire du polygone est donc plus grande que K, ce qui contredit à nouveau l’hypothèse : le cercle n’est pas plus petit que K.

N’étant ni plus grand ni plus petit que K, le cercle lui est égal. En langage moderne :

Dans la Proposition 3, Archimède encadre le rapport de la circonférence au diamètre. Il trace la tangente au cercle en A et y place un point C tel que l’angle AOC, au centre, vaille le tiers d’un angle droit ; puis il coupe cet angle en deux quatre fois de suite, passant de l’hexagone aux polygones de 12, 24, 48 puis 96 côtés, circonscrits d’une part, inscrits de l’autre. Heath signale que le détail des calculs intermédiaires revient surtout au commentateur Eutocius, Archimède se contentant le plus souvent de donner les résultats.

• Il emploie deux valeurs approchées de √3 sans les justifier : 265/153 par défaut, 1351/780 par excès.
• Pour le polygone circonscrit de 96 côtés, le diamètre est au périmètre dans un rapport plus grand que 4673 1/2 à 14688 ; la circonférence, plus courte que ce périmètre, vaut donc moins de 3 1/7 diamètres.
• Pour le polygone inscrit de 96 côtés, le périmètre est au diamètre dans un rapport plus grand que 6336 à 2017 1/4 ; la circonférence, plus longue que ce périmètre, vaut donc plus de 3 10/71 diamètres.

Le rapport de la circonférence au diamètre est ainsi encadré entre deux fractions. En langage moderne : \(3{,}1408 < \pi < 3{,}1429\).

Source : Archimède, De la mesure du cercle, propositions 1 et 3, d’après la traduction anglaise de T. L. Heath, The Works of Archimedes (1897).