Histoire des mathématiques Théorème
dernier théorème de Fermat
Théorèmethéorème de théorie des nombres
Son histoire
Pierre de Fermat lit les Arithmétiques de Diophante dans la traduction latine de Bachet. Dans la marge, il note qu'il est impossible de partager un cube en deux cubes. Il annonce une démonstration merveilleuse, mais dit manquer de place pour l'écrire. Le livre annoté est perdu très tôt. Nous ne connaissons cette note que par la transcription de son fils Samuel, publiée après sa mort. Ce « dernier théorème » sera celui des énoncés de Fermat qui résistera le plus longtemps, sans preuve pendant plus de trois siècles.
À treize ans, Sophie Germain lit Newton et Euler la nuit, dans le froid. Sous le nom de Le Blanc, elle obtient les cours de Polytechnique, puis écrit à Gauss comme « Monsieur Leblanc ». Legendre publie le théorème de Sophie Germain, premier résultat général sur ce problème. Ernst Kummer progresse à son tour en étendant le calcul à de nouveaux nombres.
L'industriel allemand Paul Wolfskehl lègue 100 000 marks-or à l'Académie de Göttingen pour récompenser une preuve complète. Le règlement prévoit même une date limite. Harry Vandiver utilise ensuite l'ordinateur SWAC pour vérifier de nombreux cas. Une autre piste relie ce problème à une conjecture sur des courbes, une affirmation encore sans démonstration.
Le Britannique Andrew Wiles travaille sept ans dans le secret. En 1993, au terme de trois jours de conférences, il annonce que ses résultats règlent la question. Six spécialistes chargés de vérifier le travail découvrent pourtant une faille. Épuisé, le chercheur croit avoir échoué et songe à renoncer. Il comprend alors que l'obstacle rencontré permet justement de reprendre une méthode abandonnée.
En 1995, Wiles publie deux articles dans les Annals of Mathematics, dont l'un est cosigné avec Richard Taylor, venu l'aider. Il touche le prix Wolfskehl, alors de 50 000 dollars, puis le prix Abel, sans recevoir la médaille Fields. Le nom de Fermat-Wiles accompagne désormais ce résultat. Une nouvelle d'Arthur Porges en fait l'enjeu d'un pacte avec le Diable. Lisbeth Salander en trouve une preuve élémentaire dans un roman, et Star Trek y fait aussi allusion.
Sources : H. Lehning, Toutes les mathématiques du monde (2017) ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; A. Deledicq et M. Launay, Dictionnaire amoureux des mathématiques (2021) ; J. Baudet, Histoire des mathématiques (2014) ; Wikipédia, articles « Dernier théorème de Fermat » et « Fermat's Last Theorem ».
Énoncé
Pour comprendre
Conditions d'application
- L'exposant doit valoir au moins 3 : pour \(n = 2\), il existe une infinité de solutions entières, les triplets pythagoriciens, comme \(3^2 + 4^2 = 5^2\).
- Les entiers \(a\), \(b\), \(c\) doivent être non nuls, sinon \(a^n + 0^n = a^n\) donne toujours une solution sans intérêt.
Cas d’usage
Le théorème lui-même ne sert à aucun calcul pratique ; sa valeur tient aux méthodes que sa démonstration a fait naître.
- Descente infinie : la preuve du cas de l'exposant 4 repose sur ce raisonnement, qui montre qu'une solution en entraînerait une plus petite, et ainsi sans fin ; il est devenu un outil général de l'arithmétique.
- Théorie des nombres algébriques : une tentative de preuve du XIXe siècle supposait à tort qu'une décomposition en facteurs était unique ; pour réparer cette faille, on a inventé les nombres idéaux, point de départ de toute une branche des mathématiques.
- Courbes elliptiques et formes modulaires : la démonstration complète, à la fin du XXe siècle, associe à une solution hypothétique une courbe particulière, puis montre que cette courbe ne peut exister, car toute courbe de ce type possède une propriété dite de modularité.
Liens
- porte le nom de
Sources
- Wikidata CC0-1.0