Histoire des mathématiques Concept

équation de Laplace

Concept

équation aux dérivées partielles du second ordre particulière

Son histoire

Pierre-Simon de Laplace cherche à comprendre comment une planète un peu aplatie attire un corps situé à l'extérieur. C'est en étudiant cette question d'astronomie qu'il rencontre l'équation aujourd'hui associée à son nom. Leonhard Euler avait déjà obtenu un résultat analogue dans ses recherches sur l'écoulement des fluides.

Le même travail reprend des outils de calcul introduits par Adrien-Marie Legendre et les étend à trois dimensions. Leurs prolongements sont longtemps appelés « coefficients de Laplace ». Laplace ne se soucie guère d'en créditer Legendre. Les solutions de l'équation sont qualifiées d'« harmoniques », un mot hérité de l'étude des vibrations d'une corde tendue.

La relation ne vaut qu'en dehors des masses, comme le remarque Siméon Denis Poisson. Il la complète pour décrire l'intérieur de la matière.

En 1828, George Green étudie une autre question dans son essai sur l'électricité et le magnétisme. On connaît une grandeur à la surface d'un corps, par exemple sa température, et l'on veut la retrouver à l'intérieur. Gauss, William Thomson et Dirichlet reprennent le sujet, qui finit par porter le nom de ce dernier.

Bernhard Riemann cherche une solution qui rende une certaine énergie aussi petite que possible. En 1870, Karl Weierstrass conteste son raisonnement : une quantité peut avoir un plancher sans jamais l'atteindre. David Hilbert rétablit l'argument en 1900.

Sources : J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; Wikipédia, articles « Équation de Laplace », « Pierre-Simon de Laplace », « Équation de Poisson », « Laplace's equation », « Laplace operator », « Harmonic function », « Dirichlet problem », « Dirichlet's principle ».

Énoncé

$$\Delta u=0$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • En électrostatique, l'équation ne vaut que là où il n'y a pas de charge ; ailleurs s'applique l'équation de Poisson, \(\Delta V = -\rho/\varepsilon_0\).
  • Le principe du maximum, qui place les extrêmes d'une solution sur le bord, et l'unicité de la solution supposent un domaine borné et une solution continue jusqu'au bord ; la fonction \(\ln r\), solution sur le plan privé de l'origine, n'est pas bornée près de 0.

Cas d’usage

  • Électrostatique : là où il n'y a pas de charge, dans le vide ou dans un conducteur, le potentiel électrique vérifie cette équation ; un théorème d'unicité permet alors de calculer le potentiel autour de conducteurs à partir des seules valeurs imposées sur leurs surfaces.
  • Gravitation : l'équation qui relie le potentiel gravitationnel à la densité de matière se réduit à celle de Laplace dès qu'on se place hors de toute masse.
  • Mécanique des fluides : dans un écoulement incompressible et sans tourbillon, le potentiel des vitesses la vérifie ; en superposant des solutions simples (écoulement uniforme, source, doublet), on reconstitue par exemple l'écoulement autour d'un cylindre.
  • Thermique : l'équation de la chaleur s'y réduit en régime permanent, quand la température ne varie plus dans le temps.

Liens

porte le nom de

Sources