Histoire des mathématiques Concept
équation différentielle de Bernoulli
Concepttype d'équation différentielle ordinaire
Son histoire
En mai 1690, Jacques Bernoulli, l’aîné des frères bâlois, publie une étude dans les Acta Eruditorum de Leipzig. Le mot « intégrale » y prend pour la première fois son sens actuel.
Il y propose en 1695 l’équation qui porte son nom, dans un article consacré à plusieurs courbes alors disputées. Pour la résolution en 1696, les sources hésitent entre Leibniz et Bernoulli. Certains récits placent l’intervention du premier quelques années plus tard.
En 1838, après avoir lu Malthus, Pierre-François Verhulst publie un modèle de croissance des populations. Les ressources disponibles y limitent l’augmentation du nombre d’individus. Ce modèle relève de la famille d’équations introduite par Bernoulli.
Sources : Wikipédia, articles « Équation différentielle de Bernoulli », « Jacques Bernoulli », « Bernoulli differential equation », « Logistic function » ; J. Baudet, Histoire des mathématiques (2014).
Énoncé
Pour comprendre
Conditions d'application
- L'exposant \(n\) doit être différent de 0 et de 1, ce que la formule ne précise pas : dans ces deux cas, l'équation est déjà linéaire.
- La méthode divise par \(y^n\), ce qui suppose \(y \neq 0\) ; la fonction nulle, qui est aussi solution quand \(n > 0\), échappe à ce calcul et doit être ajoutée à part.
Cas d’usage
- Résoudre une équation non linéaire par un changement de variable : en divisant par une puissance de l'inconnue puis en changeant de fonction inconnue, on obtient une équation linéaire, qui s'intègre par les méthodes habituelles.
- Automatique : l'équation de Riccati, utilisée pour régler de façon optimale des systèmes asservis, se ramène à une équation de Bernoulli dès qu'on en connaît une solution particulière.
- Croissance plafonnée : un exemple classique donne, une fois résolu, la forme dite logistique, dont la solution tend vers une valeur limite quel que soit son départ, comme une population qui plafonne à la capacité de son milieu.
Liens
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Sources
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