Histoire des mathématiques Théorème

formule d'Euler

Théorème

égalité mathématique reliant les nombres complexes, la trigonométrie et la fonction exponentielle

Son histoire

En 1714, l'Anglais Roger Cotes obtient un résultat équivalent à celui qui portera le nom d'Euler. Il s'appuie sur la géométrie, mais son raisonnement comporte une erreur à corriger.

Vers 1740, Euler étudie les logarithmes, qui indiquent à quelle puissance élever un nombre. Le sujet fait débat, et Jean Bernoulli a trouvé une relation voisine sans achever le calcul. Leur correspondance montre que ce dernier ne maîtrise pas complètement la question.

En 1748 paraît l'Introductio in analysin infinitorum, où la formule prend sa forme actuelle. La preuve s'appuie notamment sur un résultat de Moivre. Ce lien entre les puissances et les calculs d'angles transforme les mathématiques : la trigonométrie cesse d'en être une branche indépendante.

Ni Cotes ni Euler ne représentent leur résultat par une figure. Une cinquantaine d'années plus tard, Caspar Wessel décrira les nombres employés dans ces calculs comme des points d'un plan. Le physicien Richard Feynman l'appellera « notre joyau » et la jugera la plus remarquable des formules mathématiques.

Sources : A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; H. Lehning, Toutes les mathématiques du monde (2017) ; A. Deledicq et M. Launay, Dictionnaire amoureux des mathématiques (2021) ; Wikipédia, articles « Formule d'Euler » et « Euler's formula ».

Énoncé

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

Cas d’usage

  • Électrotechnique : une tension ou un courant sinusoïdal s'écrit comme la somme de deux exponentielles complexes, ce qui permet de le représenter par un seul nombre complexe, le phaseur, qui porte à la fois son amplitude et sa phase.
  • Électronique : en associant à un signal réel son équivalent complexe, un montage linéaire se résume à une seule fonction complexe, qui donne d'un coup l'amplification et le déphasage qu'il impose au signal.
  • Physique : plus largement, une grandeur qui oscille dans le temps se représente par un point qui tourne dans le plan complexe, son module donnant l'amplitude du phénomène et son argument sa phase.
  • Linéariser des puissances de cosinus ou de sinus : en remplaçant ces fonctions par leur écriture en exponentielles complexes, on transforme par exemple le cube d'un cosinus en une somme de cosinus d'angles multiples, directement intégrable ; le même procédé sert en analyse de Fourier.
  • Identité d'Euler : pour \(x = \pi\), la formule donne \(e^{i\pi}+1=0\) ; et comme l'exponentielle complexe revient à la même valeur tous les \(2\pi\), le logarithme ne peut pas être prolongé de façon unique aux nombres complexes.

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