Histoire des mathématiques Discipline

géométrie complexe

Discipline

partie de la géométrie

domaine
Géométrie

Pour comprendre

La géométrie complexe est une partie de la géométrie. La description disponible ne précise pas davantage son domaine d’étude.

Ce qu'elle étudie

Le dossier la désigne comme une partie de la géométrie. Il ne donne pas d’autre indication sur les objets qu’elle examine ou sur sa méthode.

Où elle se place

Le diagramme place la géométrie complexe parmi les branches de la géométrie.

flowchart TD
  P0[Géométrie] --> D([géométrie complexe])
  P0 --> S0[géométrie analytique]
  P0 --> S1[géométrie arithmétique]
  P0 --> S2[géométrie convexe]
  P0 --> S3[géométrie de contact]

Cas d’usage

Cherchons quelles transformations respectent le calcul complexe. La géométrie complexe utilise des coordonnées \(z=x+iy\), avec \(i^2=-1\) : une droite complexe est un plan réel, une courbe complexe est une surface.

Multiplier par \(i\) envoie \((x;y)\) sur \((-y;x)\). Une matrice, tableau des coefficients de la transformation, l'écrit :

$$J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$$

Deux quarts de tour donnent \(J^2=-I\), où \(I\) laisse chaque point inchangé. Multiplier par \(2+3i\) donne \((2x-3y)+i(3x+2y)\), soit :

$$M=\begin{pmatrix}2&-3\\3&2\end{pmatrix}$$

On a \(MJ=JM\) : les deux opérations commutent, leur ordre ne compte pas. Ainsi \((2+3i)(1+i)=-1+5i\). En revanche, pour \(N=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) :

$$NJ=\begin{pmatrix}2&-1\\4&-3\end{pmatrix}$$
$$JN=\begin{pmatrix}-3&-4\\1&2\end{pmatrix}$$

Ces résultats diffèrent. Seules les matrices \(\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\) commutent avec \(J\) : elles multiplient par \(a+bi\). Doubler seulement \(x\) ne convient donc pas.

Suivons deux droites par \(z\mapsto z^2\). La verticale \(z=1+it\) devient \(w=(1-t^2)+2it\). L'horizontale \(z=t+i\) devient \(w=(t^2-1)+2it\). Leur croisement \(1+i\) devient \(2i\). En \(t=1\), les vitesses des images sont \((-2;2)\) et \((2;2)\). Leur produit scalaire, somme des produits des coordonnées, vaut \((-2)\times2+2\times2=0\) : l'angle reste droit. La conjugaison \(z\mapsto\bar z\), qui change \(i\) en \(-i\), conserve aussi les angles, mais inverse leur sens.

Regardons enfin \(x^2+y^2=1\) sur les complexes. Chaque \(x\) donne \(y=\pm\sqrt{1-x^2}\), sauf en \(x=\pm1\), où les valeurs se confondent. Pour \(x=2\), \(y=\pm i\sqrt3\). La courbe forme deux feuillets au-dessus du plan des \(x\). Complétons à l'infini : ce plan devient une sphère. La caractéristique d'Euler, sommets moins arêtes plus faces, vaut alors \(2\times2-2=2\) : la courbe complétée est une sphère, sa boucle réelle un équateur. Pour \(y^2=x^4-1\), les recollements sont en \(1,-1,i,-i\) : \(2\times2-4=0\), ce qui donne un tore, en forme de bouée.

Liens

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Sources