géométrie de contact

Discipline

approximation différentielle de structures

domaine: Géométrie

Pour comprendre

La géométrie de contact est une branche des mathématiques. Le dossier la présente aussi comme une branche de la géométrie.

Ce qu'elle étudie

La description disponible ne précise pas les objets ni les questions étudiés par cette discipline. Elle permet seulement de la situer parmi les branches des mathématiques.

Où elle se place

Le diagramme rattache la géométrie de contact à la géométrie. Il la montre avec plusieurs autres branches de cette discipline.

flowchart TD
  P0[Géométrie] --> D([géométrie de contact])
  P0 --> S0[géométrie analytique]
  P0 --> S1[géométrie arithmétique]
  P0 --> S2[géométrie complexe]
  P0 --> S3[géométrie convexe]

Cas d’usage

Suivons des plans attachés aux points de l'espace. La géométrie de contact les choisit si tordus qu'aucune surface ne peut les suivre partout ; certaines courbes le peuvent.

En \((x;y;z)\), les directions \((dx;dy;dz)\), de petits déplacements, vérifient \(dz=y\,dx\). Le plan est horizontal en \((0;0;0)\). En \((0;2;0)\), il contient \((1;0;2)\), de pente \(2\). Une courbe est dite legendrienne si ses vitesses vérifient \(z'=yx'\) partout. Pour \((x;2x;x^2)\), on a \(z'=2x\) et \(yx'=2x\times1=2x\). Elle passe par \((1;2;1)\) et \((3;6;9)\). Plus généralement, relever \(z=f(x)\) en \((x;f'(x);f(x))\), avec la pente pour deuxième coordonnée, convient. Le cercle \((\cos t;\sin t;0)\) échoue : \(z'=0\), mais \(yx'=-\sin^2t\), soit \(-1\) en \(t=\pi/2\).

Faisons le tour d'un carré de côté \(1\), depuis \((0;0;0)\), en respectant \(dz=y\,dx\).

Faisons passer \(x\) de \(0\) à \(1\), avec \(y=0\). Alors \(dz=0\) : arrivée en \((1;0;0)\).
Faisons passer \(y\) de \(0\) à \(1\), à \(x\) fixe. Alors \(dx=0\), donc \(dz=0\) : \((1;1;0)\).
Ramenons \(x\) de \(1\) à \(0\), avec \(y=1\). Alors \(dz=dx\) : \(z\) baisse de \(1\), jusqu'à \((0;1;-1)\).
Ramenons \(y\) à \(0\), à \(x\) fixe : arrivée en \((0;0;-1)\).

Le tour décale la hauteur de \(-1\), ou de \(1\) dans l'autre sens. Un carré de côté \(2\) donne \(-4\), un rectangle \(3\times2\) donne \(-6\), deux tours donnent \(-2\). Le décalage est l'aire entourée, au signe près.

Remplaçons enfin la règle par \(dz=x\,dx\). Les surfaces \(z=x^2/2+c\), où \(c\) fixe la hauteur, la suivent : leurs directions \((1;0;x)\) et \((0;1;0)\) vérifient \(x=x\times1\) et \(0=x\times0\). Sur le carré, la montée de \(1/2\) est annulée par la descente de \(1/2\) : total \(0\).

Pour la règle initiale, une surface \(z=g(x;y)\) devrait avoir les pentes \(g_x=y\) et \(g_y=0\). La première impose \(g=xy+h(y)\), la seconde \(x+h'(y)=0\) pour tout \(x\), impossible. Cette absence de surface est la non-intégrabilité.

Sources

Rédaction Synapx INTERNE
Wikidata CC0-1.0

wikidata Q1783105