géométrie de Poisson

Discipline

sous-domaine de la géométrie traitant des variétés de Poisson et structures associées

domaine: géométrie différentielle

Pour comprendre

La géométrie de Poisson est un sous-domaine de la géométrie. Elle traite des variétés de Poisson et des structures qui leur sont associées.

Ce qu'elle étudie

Son étude porte sur les variétés de Poisson ainsi que sur les structures associées à ces variétés. La description ne précise pas davantage les propriétés ou les méthodes concernées.

Où elle se place

La géométrie de Poisson appartient à la géométrie différentielle. Elle y forme un sous-domaine consacré aux variétés de Poisson et aux structures associées.

Cas d’usage

Calculons un mouvement à partir de fonctions. La géométrie de Poisson étudie une opération, le crochet $\{f,g\}$, qui dit comment $f$ varie quand $g$ pilote le mouvement.

Avec la position $q$ et l'impulsion $p$, qui mesure la quantité de mouvement, posons :

$$\{f,g\}=f_qg_p-f_pg_q$$

L'indice indique la variable selon laquelle on dérive, en gardant l'autre fixe. Ainsi $\{q,p\}=1\times1-0\times0=1$, $\{p,q\}=-1$, $\{q,q\}=0$. La règle de dérivation d'un produit donne $\{q^2,p\}=2q$. Pour l'énergie $H=p^2/2+q^4/4$, les vitesses sont $q'=\{q,H\}=p$ et $p'=\{p,H\}=-q^3$. En $(1;2)$, $H=2+1/4=9/4$, $q'=2$, $p'=-1$. Comme $\{H,H\}=0$, l'énergie reste constante.

Pour $f=q^2$, $g=p^2$, $h=qp$, le crochet vérifie aussi l'identité de Jacobi, qui relie trois crochets emboîtés :

$$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}$$

$${}+\{h,\{f,g\}\}=0$$

Passons à l'espace $(x;y;z)$. Posons $\{x,y\}=z$, $\{y,z\}=x$, $\{z,x\}=y$. Pour $C=x^2+y^2+z^2$, la règle du produit donne $\{C,x\}=-2yz+2zy=0$, et de même avec les autres coordonnées. Le crochet de $C$ avec toute fonction est nul : $C$ reste constante.

Prenons $H=(x^2+2y^2+3z^2)/2$. On obtient $x'=-yz$, $y'=2xz$, $z'=-xy$. En $(1;1;1)$, les vitesses sont $(-1;2;-1)$, avec $C=3$ et $H=3$. Leurs variations valent $2(-1+2-1)=0$ et $-1+4-3=0$. Le point suit l'intersection de la sphère $C=3$ et de l'ellipsoïde $H=3$, une surface en forme de sphère étirée.

Rangeons enfin les crochets dans une matrice :

$$\Pi=\begin{pmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{pmatrix}$$

Échanger lignes et colonnes change son signe : $\Pi^T=-\Pi$. Elle annule le vecteur $(2x;2y;2z)$. Son rang, le nombre de directions indépendantes conservées, vaut $2$, sauf à l'origine où il vaut $0$. Sur le plan $(q;p)$, la matrice $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ est inversible : c'est le cas symplectique. Ici, la géométrie se répartit sur les sphères et le point origine, appelés feuilles.

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q126597694