Histoire des mathématiques Discipline

géométrie descriptive

Discipline

étude de la géométrie dans l'espace fondée sur les projections géométrales planes

domaine
Géométrie

Pour comprendre

La géométrie descriptive étudie la géométrie dans l’espace à partir de projections géométrales planes. Elle relie donc l’étude de l’espace à des projections sur un plan.

Ce qu'elle étudie

Son objet est la géométrie dans l’espace. La méthode indiquée dans le dossier repose sur des projections géométrales planes. Ces projections permettent d’aborder un objet de l’espace à partir de sa représentation sur un plan. Le dossier ne précise pas d’autres procédés ni d’autres usages.

À quoi elle sert

Elle sert à étudier la géométrie dans l’espace en s’appuyant sur des projections géométrales planes.

Où elle se place

Le diagramme présente la géométrie descriptive comme une branche de la géométrie, parmi plusieurs autres branches.

flowchart TD
  P0[Géométrie] --> D([géométrie descriptive])
  P0 --> S0[géométrie analytique]
  P0 --> S1[géométrie arithmétique]
  P0 --> S2[géométrie complexe]
  P0 --> S3[géométrie convexe]

Cas d’usage

Dessinons un point de l'espace sur deux vues. Le point \(P(3;2;4)\) se trouve à \(3\) vers la droite, \(2\) vers le fond et \(4\) de hauteur. La vue de dessus, appelée plan, donne \((3;2)\) : la hauteur disparaît. La vue de face, appelée élévation, donne \((3;4)\) : la profondeur disparaît. L'abscisse, position horizontale, reste \(3\). Sur la feuille, les deux images sont l'une au-dessus de l'autre, reliées par une verticale, la ligne de rappel. Un point au sol, de hauteur \(0\), a son élévation sur la ligne de terre, qui sépare les vues. Les deux dessins restituent les trois coordonnées.

Mesurons une barre inclinée de \(A(0;0;0)\) à \(B(4;3;12)\). Sur le plan, ses extrémités sont \((0;0)\) et \((4;3)\), d'où une longueur \(\sqrt{4^2+3^2}=5\). Sur l'élévation, elles sont \((0;0)\) et \((4;12)\), d'où \(\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{160}\approx12{,}65\). La barre étant oblique aux deux vues, aucune ne donne sa vraie longueur.

Rabattons la barre : faisons-la tourner pour voir sa longueur dans un triangle rectangle. Un côté mesure \(5\), la longueur vue en plan ; l'autre \(12\), la différence de hauteur. Le côté opposé à l'angle droit, ou hypoténuse, mesure \(\sqrt{5^2+12^2}=13\). Contrôlons avec les trois coordonnées :

$$\sqrt{4^2+3^2+12^2}$$
$${}=\sqrt{169}=13$$

Découpons le patron, dessin à plat, d'un cône de rayon \(5\) et de hauteur \(12\). L'apothème, distance du sommet au bord de la base, vaut \(\sqrt{5^2+12^2}=13\). La paroi déroulée est un secteur, une part de disque, de rayon \(13\). Son arc mesure le tour de la base : \(2\pi\times5=10\pi\approx31{,}42\). Le disque complet aurait un tour de \(26\pi\). Il faut donc en garder la fraction \(\frac{10\pi}{26\pi}=5/13\), soit un angle de \(360\times5/13\approx138{,}46^\circ\).

L'aire est \(5/13\) de \(\pi\times13^2\), soit \(65\pi\approx204{,}2\). C'est aussi \(\pi\times5\times13\), le produit de \(\pi\), du rayon et de l'apothème. Le patron peut se rouler pour reformer le cône.

Liens

comprend

Sources