Histoire des mathématiques Discipline

géométrie différentielle des courbes

Discipline

étude des courbes d'un point de vue différentiel

domaine
géométrie différentielle

Pour comprendre

La géométrie différentielle des courbes étudie les courbes d’un point de vue différentiel. Elle se place ainsi dans le cadre de la géométrie différentielle.

Ce qu'elle étudie

Son objet est l’étude des courbes. La précision « d’un point de vue différentiel » indique l’approche retenue, sans que le dossier détaille les outils ou les propriétés concernés.

Où elle se place

La géométrie différentielle des courbes appartient à la géométrie différentielle. C’est la relation donnée par le corpus.

Cas d’usage

Suivons un fil dans l'espace : la géométrie différentielle des courbes mesure sa courbure, combien il tourne, et sa torsion, combien il sort de son plan. Une hélice, comme un ressort, est décrite par \((\cos t,\sin t,3t/4)\). Sur un cylindre de rayon \(1\), elle monte de \(3\pi/2\approx4{,}71\) par tour.

La vitesse est constante :

$$\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+9/16}=5/4$$

Un tour mesure donc \((5/4)\times2\pi=5\pi/2\approx7{,}85\), contre \(2\pi\approx6{,}28\) autour du cylindre. Pour une hélice de rayon \(a\) et de pente \(b\) :

$$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},\quad\tau=\frac{b}{a^2+b^2}$$

Ici, \(a=1\), \(b=3/4\) et \(a^2+b^2=25/16\). Ainsi \(\kappa=16/25=0{,}64\) et \(\tau=12/25=0{,}48\). Le cercle de rayon \(1\) a une courbure \(1\) et une torsion nulle. L'hélice tourne moins fortement, mais ne tient dans aucun plan. Le cercle qui l'épouse le mieux a pour rayon \(1/\kappa=25/16=1{,}5625\). Le rapport \(\tau/\kappa=3/4\) retrouve la pente.

Comparons les endroits de l'ellipse \(x=2\cos t\), \(y=\sin t\), deux fois plus large que haute. Sa courbure vaut :

$$\kappa=\frac{2}{(4\sin^2t+\cos^2t)^{3/2}}$$
  • En \((2;0)\), pour \(t=0\), elle vaut \(2\). Le cercle osculateur, qui épouse la courbe, a pour rayon \(1/2\) et centre \((3/2;0)\).
  • En \((0;1)\), pour \(t=\pi/2\), elle vaut \(2/8=1/4\). Le cercle a pour rayon \(4\) et centre \((0;-3)\).
  • Pour \(t=\pi/4\), elle vaut \(2/(5/2)^{3/2}\approx0{,}506\).

La courbure est donc \(8\) fois plus forte au bout du grand axe.

Additionnons enfin la courbure sur toute la longueur : c'est la courbure totale. Pour un cercle de rayon \(R\), on multiplie \(1/R\) par \(2\pi R\) : le total vaut \(2\pi\). L'ellipse mesure environ \(9{,}688\) ; sa courbure moyenne vaut \(2\pi/9{,}688\approx0{,}649\). Son total est aussi \(2\pi\approx6{,}2832\) : sa tangente fait un tour complet.

Sources