géométrie intégrale

Discipline

théorie des mesures sur un espace géométrique invariantes sous le groupe de symétrie de cet espace

domaine: Géométrie

Pour comprendre

Géométrie intégrale

La géométrie intégrale est une théorie des mesures sur un espace géométrique. Elle s'intéresse aux mesures qui restent invariantes sous le groupe de symétrie de cet espace.

Ce qu'elle étudie

Une mesure est étudiée ici avec l'espace géométrique auquel elle se rapporte et avec ses symétries. L'invariance indique que la mesure conserve la même propriété sous les transformations appartenant au groupe de symétrie de cet espace.

Où elle se place

La géométrie intégrale appartient à la géométrie.

Cas d’usage

Mesurons un ensemble de droites. La géométrie intégrale mesure des familles de figures sans favoriser une position ou une orientation, pour en tirer longueurs et probabilités.

Repérons chaque droite par un angle $\theta$ et une distance signée $p$ à l'origine. La mesure $d\theta\,dp$ est une aire dans le plan $(\theta;p)$. Pour couper une figure convexe, sans creux, $p$ doit traverser sa largeur dans la direction perpendiculaire. Additionnons ces largeurs pour $\theta$ allant de $0$ à $\pi$.

Carré de côté $1$ : largeur $|\cos\theta|+|\sin\theta|$, total $4$.
Disque de diamètre $1$ : largeur $1$, total $\pi$.
Triangle équilatéral de côté $1$ : total $3$.
Segment de longueur $L$ : largeur $L|\cos\theta|$, total $2L$.

Le total retrouve chaque périmètre ; pour le segment, on compte l'aller et le retour.

Comptons maintenant les croisements. Une droite traversant un convexe coupe son bord deux fois ; elle coupe un segment une fois. Pour une courbe, additionner ces nombres sur toutes les droites, puis diviser par deux, donne sa longueur.

Tirons une droite selon cette mesure parmi celles qui coupent le carré de côté $1$. La probabilité de couper sa diagonale vaut $2\sqrt2/4\approx0{,}707$. Pour le disque centré de diamètre $1/2$, elle vaut $(\pi/2)/4=\pi/8\approx0{,}393$.

Mesurons enfin la corde moyenne, le segment qu'une droite découpe dans un convexe d'aire $A$ et de périmètre $P$. À direction fixée, les cordes balaient toute la figure : leurs longueurs se somment en $A$, et en $\pi A$ sur toutes les directions. La mesure des droites qui coupent étant $P$ :

$$\text{corde moyenne}=\frac{\pi A}{P}$$

Disque de rayon $1$ : $\pi^2/(2\pi)=\pi/2\approx1{,}571$, loin du diamètre $2$, car les cordes près du bord sont courtes ; à distance $p$ du centre, la corde mesure $2\sqrt{1-p^2}$, et leur somme de $-1$ à $1$ vaut bien $\pi$. Carré de côté $1$ : $\pi/4\approx0{,}785$. Triangle équilatéral de côté $1$ : $\pi\sqrt3/12\approx0{,}453$. Rectangle $2\times1$ : $\pi/3\approx1{,}047$. Une formule pour toutes les formes, sans calculer une seule corde.

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q2725319